Minor, Kofaktor, Adjoint, Aturan Crammer

A. Minor dan Kofaktor

Jika A matriks bujursangkar, maka minor M_ij dari entri a_ij didefnisikan sebagai determinan dari submatriks A setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan, sedangkan kofaktor C_ij dari entri a_ij dinyatakan sebagai C_ij = (–1)^i+j × M_ij. Perlu diperhatikan bahwa kofaktor dan minor dari suatu entri a_ij hanya berbeda pada tandanya. Untuk mendapatkan kofaktor pada suatu matriks, pertama tentukan minor kemudian gunakan tanda + dan –. Sebagai catatan bahwa, tanda + (positif) terjadi saat (i + j) genap, sedangkan tanda – (negatif) terjadi saat (i + j) ganjil.

B. Determinan dan Ekspansi Kofaktor

Jika A matriks bujursangkar (Orde 2 atau lebih), maka determinan A adalah jumlah dari hasil kali setiap entri dengan kofaktor-kofaktornya dalam satu baris (kolom) dari matriks A.

Jumlah dari hasil kali setiap entri dengan kofaktornya dalam satu baris (atau satu kolom) disebut ekspansi kofaktor. Penjumlahan hasil kali setiap entri dengan kofaktornya pada baris ke-i disebut ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i. Penjumlahan hasil kali setiap entri dengan kofaktornya pada kolom ke-j disebut ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j.

Ekspansi kofaktor di semua baris dan semua kolom menghasilkan hasil yang sama, yaitu determinan.

Catatan: Hasil kali dari entri nol dengan kofaktornya adalah nol (jelas nol), sehingga anda dapat menemukan cara cepat menghitung determinan dengan melakukan ekspansi kofaktor disepanjang baris atau kolom yang paling banyak memuat entri nol.

C. Adjoint Matriks

Matriks kofaktor dari A adalah matriks yang setiap entrinya merupakan kofaktor dari entri yang bertepatan pada matriks A. Transpos dari matriks kofaktor A disebut adjoint A, ditulis adj(A).

contoh: Misal A

	0	2	1
	3	-1	2
	4	0	1

Tentukan adjoint A!

Jadi, adjoint dari A adalah:

	-1	-2	5
	5	-4	3
	4	8	-6

D. Invers Matriks

Invers matriks sama dengan mengalikan satu dibagi determinan dengan adjoint.

contoh: Misal A

	0	2	1
	3	-1	2
	4	0	1

Tentukan invers dari A!

E. Aturan Cramer

Jika Ax = b adalah sistem dari n persamaan linear dan n faktor yang tidak diketahui sedemikian sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem ini memiliki solusi yang unik, yaitu:

dimana A_j adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri kolom ke-j dari A dengan entri-entri pada matriks b.

Contoh:

2x₂ + x₃ = 5 (i)

3x₁ – x₂ + 2x₃ = 9 (ii)

4x₁ + 1x₃ = 13 (iii)

dalam bentuk matriks:

solusinya adalah:

Himpunan solusi: {x₁, x₂, x₃} = {3, 2, 1}

F. Sistem Persamaan Linear dalam bentuk Ax = λx

Misal A matriks berukuran n × n, λ skalar, x matriks berukuran n × 1. Terkadang suatu sistem persamaan linear dapat disajikan dalam bentuk Ax = λx. Bentuk ini merupakan sistem persamaan linear homogen karena dapat dihitung sebagai berikut:

Ax = λx

λIx – Ax = 0

(λI – A)x = 0

0 selalu merupakan solusi dari sistem ini. Sistem ini memiliki solusi lain apabila:

det(λI – A) = 0

Simbol λ disebut sebagai nilai karakteristik atau nilai eigen.