Kejadian Bersyarat dan Partisi (Stadas)

1. Kejadian bersyarat

A. Untuk 2 kejadian

Kejadian B dengan syarat kejadian A adalah terjadinya kejadian B jika kejadian A telah terjadi, dinotasikan dengan B | A.

Jika A dan B dua kejadian dalam ruang sampel S dengan P(A) ≠ 0, maka peluang kejadian B jika diketahui kejadian A didefinisikan sebagai :

yang mana ekivalen dengan:

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵 | 𝐴)

contoh:
Misalkan dalam sebuah kotak terdapat 6 bola kuning dan 4 bola hitam. Dua bola akan diambil berturut-turut tanpa dikembalikan. Tentukan peluang diperolehnya bola hitam pada pengambilan pertama dan bola kuning pada pengambilan kedua!

Peluang diperolehnya bola hitam pada pengambilan pertama = 4/10 = ⅖

Setelah terambil bola hitam pada pengambilan pertama, dan tidak dikembalikan lagi, banyak bola dalam kotak tersisa 9, sehingga n(S) = 9, sehingga:

Peluang diperolehnya bola kuning pada pengambilan kedua = 6/9 = ⅔

Sehingga

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵 | 𝐴) = ⅖ × ⅔ = 4/15

B. Perluasan untuk lebih dari 2 kejadian

Jika A₁, A₂, A₃, … kejadian-kejadian dalam ruang sampel S, maka

2. Peluang Total

Ingat kembali tentang partisi himpunan. Kita dapat mendefinisikan partisi sebagai:

Himpunan A₁, A₂, A₃, …, A_k membentuk partisi dalam ruang sampel 𝑆 jika:

1. Gabungan seluruh partisi adalah S

2. Irisan masing-masing sepasang adalah himpunan kosong
A_i ∩ A_j = ∅ untuk setiap 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ k, i ≠ j

Ilustrasi untuk partisi:

Peluang Total

Jika kejadian B₁, B₂, B₃, …, B_k membentuk partisi di dalam ruang sampel S dan 𝑃(B_i) ≠ 0 untuk 𝑖 = 1, 2, 3, …, 𝑘, maka untuk sembarang kejadian A didalam S dengan 𝑃(𝐴) ≠ 0 berlaku:

contoh:

Misal terdapat 3 kotak berisi lampu, dengan:

• Kotak 1 berisi 12 lampu, dengan 4 rusak

• Kotak 2 berisi 10 lampu, dengan 3 rusak

• Kotak 3 berisi 8 lampu, dengan 2 rusak

Akan diambil lampu secara acak dari kotak yang ditentukan berdasarkan matadadu:

• Diambil dari kotak 1 untuk matadadu bilangan prima (2, 3, 5)

• Diambil dari kotak 2 untuk matadadu bilangan komposit (4, 6)

• Diambil dari kotak 3 untuk matadadu 1

Peluang terambilnya lampu rusak adalah:

P(R) = P(K1).P(R | K1) + P(K2).P(R | K2) + P(K3).P(R | K3)

Jadi, peluang terambilnya lampu rusak adalah 37/120.

3. Teorema Bayes

Jika kejadian B₁, B₂, B₃, …, B_k membentuk partisi di dalam ruang sampel S dan 𝑃(B_i) ≠ 0 untuk 𝑖 = 1, 2, 3, …, 𝑘, maka untuk sembarang kejadian A didalam S dengan 𝑃(𝐴) ≠ 0 berlaku:

kembali ke masalah lampu rusak, jika terambil 1 lampu rusak, maka peluang terambil dari kotak 2 adalah: