Konsep Peluang (Stadas)

Definisi: Misalkan 𝐴 adalah kejadian yang bersesuaian dengan suatu eksperimentasi untuk ruang sampel 𝑆 yang berhingga dengan setiap titik sampel berkemungkinan sama untuk terjadi. Peluang kejadian 𝐴, yaitu 𝑃(𝐴), didefinisikan sebagai:

dengan 𝑛(𝑆) menyatakan banyak anggota ruang sampel 𝑆 dan 𝑛(𝐴) banyak anggota kejadian 𝐴.

contoh:

Sebuah dadu yang bernomorkan 1 - 6 di lempar, tentukan peluang munculnya matadadu genap!

A = {2, 4, 6}, n(A) = 3

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6

P(A) = n(A) / n(S) = 3 / 6 = ½

1. Jaminan untuk Definisi Peluang

A. Jaminan tidak negatif

𝑃(𝐴) adalah suatu bilangan real non negatif untuk setiap kejadian 𝐴 dalam ruang sampel 𝑆. 

B. Jaminan utuh

𝑃(𝑆) = 1 untuk setiap ruang sampel 𝑆.

Termasuk juga peluang kejadian yang pasti terjadi adalah 1.

C. Jaminan saling kesalingasingan

Jika A₁, A₂, A₃, …,  adalah barisan hingga atau barisan tak hingga kejadian-kejadian saling asing di dalam 𝑆, maka:

2. Keterkaitan Konsep Peluang dengan Himpunan

Ingat kembali konsep himpunan, masukkan ke rumus peluang, akan diperoleh keterkaitan berikut:

A. Kejadian komplemen

Komplemen suatu kejadian A, dinyatakan dengan A', adalah himpunan semua elemen dalam S yang tidak termasuk dalam A.

Jika 𝐴 adalah kejadian dalam ruang sampel 𝑆 dan A^C adalah kejadian yang bukan 𝐴, maka 

𝑃(A^C) = 1 − 𝑃(𝐴)

Catatan: Kejadian komplemen dari A dapat dinyatakan sebagai A^C dapat juga A'.

B. Interval nilai peluang

Jika 𝐴 adalah sebarang kejadian dalam ruang sampel 𝑆, maka

0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

Peluang 0 untuk kejadian yang tidak mungkin terjadi.

Peluang 1 untuk kejadian yang pasti terjadi.

C. Kejadian kosong

Jika kejadian 𝐴 merupakan himpunan kosong, maka peluang kejadian 𝐴 adalah nol, yaitu 

𝑃(∅) = 0

Termasuk juga peluang kejadian yang mustahil terjadi adalah 0.

D. Gabungan dan Irisan

Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan 𝐴 ∪ 𝐵, merupakan kejadian yang mengandung semua elemen yang termasuk  A atau B atau keduanya.

Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan 𝐴 ∩ 𝐵, merupakan kejadian yang elemennya termasuk dalam A dan B.

Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah kejadian-kejadian dalam ruang sampel 𝑆, maka

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

E. Subset (Himpunan bagian)

Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah kejadian dalam ruang sampel 𝑆 dan 𝐴 ⊆ 𝐵, maka 

𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)

3. Kejadian Saling Asing / Saling Lepas

Definisi: Kejadian A dan B di dalam ruang sampel S disebut kejadian yang saling asing (disjoint) jika dan hanya jika A ∩ B = ∅.

Dengan kata lain, kejadian yang saling asing adalah kejadian yang tidak mungkin terjadi bersamaan.

Berdasarkan definisi, peluang gabungan kejadian yang saling asing adalah:

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

= 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(∅)

= 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 0

= 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Jadi, peluang gabungan kejadian yang saling asing adalah 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).