Bidang Kutub dan Kuasa Sfera (Bola)

1. Bidang Kutub

Misalkan titik P diluar bola. Jika dari P dibuat garis singgung bola, maka akan ada tak hingga garis singgung yang dapat dibuat. Garis singgung yang dibuat melalui P, akan memotong bola menurut sebuah lingkaran. Bidang yang melalui lingkaran singgung tersebut dinamakan bidang kutub.

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan titik P(x₁, y₁, z₁) diluar bola, titik Q(x₂, y₂, z₂) pada bola sehingga PQ menyinggung bola, dan M pusat bola. Bidang kutub dari P adalah bidang yang melalui Q tegak lurus MP.

• Misal persamaan bola s: x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0

Pusatnya adalah M(–½A, –½B, –½C)

Arah MP adalah (x₁ + ½A, y₁ + ½B, z₁ + ½C)

• Misal V bidang kutub

V ⊥ MP, sehingga bilangan arahnya (x₁ + ½A, y₁ + ½B, z₁ + ½C)

V melalui Q, sehingga persamaannya

V: (x₁ + ½A)(x – x₂) + (y₁ + ½B)(y – y₂) + (z₁ + ½C)(z – z₂) = 0

V: xx₁ + yy₁ + zz₁ + ½Ax – ½Ax₂ + ½By – ½By₂ + ½Cz – ½Cz₂ – x₁x₂ – y₁y₂ – z₁z₂ = 0 (i)

• Q pada bola, sehingga berlaku

x₂² + y₂² + z₂² + Ax₂ + By₂ + Cz₂ + D = 0

Segitiga PQM siku-siku di Q, sehingga berlaku |MP|² = |MQ|² + |PQ|²

(x₁ + ½A)² + (y₁ + ½B)² + (z₁ + ½C)² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D + (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²

x₁² + y₁² + z₁² + Ax₁ + By₁ + Cz₁ + ¼A² + ¼B² + ¼C² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D + x₂² + y₂² + z₂² – 2x₁x₂ – 2y₁y₂ – 2z₁z₂ + x₁² + y₁² + z₁² 

Ax₁ + By₁ + Cz₁ = x₂² + y₂² + z₂² – 2x₁x₂ – 2y₁y₂ – 2z₁z₂ – D

Ax₁ + By₁ + Cz₁ – x₂² – y₂² – z₂² + 2x₁x₂ + 2y₁y₂ + 2z₁z₂ + D = 0

Ax₁ + By₁ + Cz₁ + Ax₂ + By₂ + Cz₂ + D + 2x₁x₂ + 2y₁y₂ + 2z₁z₂ + D = 0

Ax₁ + By₁ + Cz₁ + Ax₂ + By₂ + Cz₂ + 2x₁x₂ + 2y₁y₂ + 2z₁z₂ + 2D = 0, bagi masing-masing ruas dengan 2 menjadi

½Ax₁ + ½By₁ + ½Cz₁ + ½Ax₂ + ½By₂ + ½Cz₂ + x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ + D = 0 (ii)

Tambahkan (i) dan (ii) menjadi:

xx₁ + yy₁ + zz₁ + ½Ax + ½Ax₁ + ½By + ½By₁ + ½Cz + ½Cz₁ + D = 0

xx₁ + yy₁ + zz₁ + ½A(x + x₁) + ½B(y + y₁) + ½C(z + z₁) + D = 0

Jadi, persamaan bidang kutub bola s: x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0 dari titik P(x₁, y₁, z₁) adalah:

V: xx₁ + yy₁ + zz₁ + ½A(x + x₁) + ½B(y + y₁) + ½C(z + z₁) + D = 0

Contoh:

Tentukan bidang kutub bola x² + y² + z² – 6x + 2y + 4z – 16 = 0 dengan titik kutub (6, 4, −8).

V: 6x + 4y – 8z – 3(x + 6) + y + 4 + 2(z – 8) – 16 = 0

V: 6x + 4y – 8z – 3x – 18 + y + 4 + 2z – 16 – 16 = 0

V: 3x + 5y – 6z – 46 = 0

2. Kuasa Titik pada Bola

Recall: Ingat kembali kuasa titik pada lingkaran, misal diberikan titik P dan lingkaran L

• Kuasa P pada L bernilai positif untuk P diluar L

• Kuasa P pada L bernilai 0 untuk P terletak di L

• Kuasa P pada L bernilai negatif untuk P di dalam L

Secara analog, kita memiliki konsep kuasa titik P pada bola S.

Misalkan diberikan titik P dan Bola S. Kuasa titik P pada bola S adalah Kuadrat Jarak P ke titik singgung bola S dari garis singgung yang dibuat melalui P.

Misal P diluar bola, Q titik singgung bola S dari P, M pusat bola. PQ ⊥ MP, sehingga berlaku rumus Pythagoras: |MP|² = |MQ|² + |PQ|² ↔ |PQ|² = |MP|² – |MQ|²

Misal S: x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0, M(–½A, –½B, –½C), dan P(x₁, y₁, z₁)

|PQ|² = (x₁ + ½A)² + (y₁ + ½B)² + (z₁ + ½C)² – (¼A² + ¼B² + ¼C² – D)

|PQ|² = x₁² + y₁² + z₁² + Ax₁ + By₁ + Cz₁ + ¼A² + ¼B² + ¼C² – (¼A² + ¼B² + ¼C² – D)

|PQ|² = x₁² + y₁² + z₁² + Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D

Jadi, kuasa titik P(x₁, y₁, z₁) pada bola S: x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0 adalah

x₁² + y₁² + z₁² + Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D

Begitu juga kedudukan titik dengan bola berpengaruh terhadap nilai kuasa

• Kuasa P pada S bernilai positif untuk P diluar S

• Kuasa P pada S bernilai 0 untuk P terletak di S

• Kuasa P pada S bernilai negatif untuk P di dalam S

3. Bidang Kuasa

Bidang kuasa adalah tempat kedudukan titik-titik yang memiliki kuasa sama terhadap dua bola.

Misal diberikan dua bola:

S₁: x² + y² + z² + A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

S₂: x² + y² + z² + A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Kuasa titik P(x₁, y₁, z₁) terhadap dua bola adalah sama, sehingga berlaku

x₁² + y₁² + z₁² + A₁x₁ + B₁y₁ + C₁z₁ + D₁ = x₁² + y₁² + z₁² + A₂x₁ + B₂y₁ + C₂z₁ + D₂ 

A₁x₁ + B₁y₁ + C₁z₁ + D₁ = A₂x₁ + B₂y₁ + C₂z₁ + D₂ 

(A₁ – A₂)x₁ + (B₁ – B₂)y₁ + (C₁ – C₂)z₁ + D₁ – D₂ = 0, jalankan

(A₁ – A₂)x + (B₁ – B₂)y + (C₁ – C₂)z + D₁ – D₂ = 0

Jadi, persamaan bidang kuasanya V: (A₁ – A₂)x + (B₁ – B₂)y + (C₁ – C₂)z + D₁ – D₂ = 0

Secara simbolik dapat dituliskan S₁ – S₂ = 0

Contoh:

Diberikan bola S₁ berpusat di (0, 0, 2) dengan jari-jari 2 dan S₂ berpusat di (0, 6, 2) dengan jari-jari 3. Tentukan bidang kuasa dari keduanya!

V: S₁ – S₂ = 0

V: x² + y² + (z – 2)² – 2² – [x² + (y – 6)² + (z – 2)² – 3²] = 0

V: y² – 4 – [(y – 6)² – 9] = 0

V: y² – 4 – [y² – 12y + 36 – 9] = 0

V: – 4 + 12y – 27 = 0

V: 12y – 31 = 0

4. Garis Kuasa

Garis kuasa adalah tempat kedudukan titik-titik yang memiliki kuasa sama terhadap tiga bola.

Misal terdapat tiga bola yang tidak melalui lingkaran yang sama, sehingga setiap dua bola memiliki bidang kuasa masing-masing dan ketiganya berpotongan pada satu garis yang disebut garis kuasa.

Secara simbolik dapat dituliskan S₁ = S₂ = S₃. Persamaan tiga ruas ini membentuk persamaan garis.

Misal diberikan tiga bola:

S₁: x² + y² + z² + A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

S₂: x² + y² + z² + A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

S₃: x² + y² + z² + A₃x + B₃y + C₃z + D₃ = 0

Dapat dituliskan

x² + y² + z² + A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = x² + y² + z² + A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = x² + y² + z² + A₃x + B₃y + C₃z + D₃, kurangi masing-masing ruas dengan x² + y² + z² menjadi

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = A₃x + B₃y + C₃z + D₃ 

Contoh:

Diberikan tiga bola:

S₁: x² + y² + z² + 2x + 2y + 2z + 2 = 0

S₂: x² + y² + z² + 4x + 4z + 4 = 0

S₃: x² + y² + z² + x + 6y – 4z – 2 = 0

• Tentukan bidang kuasa S₁ dan S₂ 

V: –2x + 2y – 2z – 2 = 0 ↔ x – y + z + 1 = 0

• Tentukan bidang kuasa S₂ dan S₃ 

W: 3𝑥 − 6𝑦 + 8𝑧 + 6 = 0

Garis kuasa ketiga bola adalah g: x – y + z + 1 = 0, 3𝑥 − 6𝑦 + 8𝑧 + 6 = 0

5. Titik Kuasa

• Jika ada 4 bola yang tidak melaui dua titik yang sama, maka bola-bola tersebut memiliki 6 bidang kuasa. 

• Tiap tiga bola memilki garis kuasa shg ada 4 garis kuasa. 

• Bidang kuasa dan garis kuasa tersebut akan melalui titik yang sama yang koordinatnya ditentukan oleh:

S₁ = S₂ = S₃ = S₄ 

Contoh:

Diberikan empat bola:

S₁: x² + y² + z² – 3z = 0

S₂: x² + y² + z² – 3y + 1 = 0

S₃: x² + y² + z² – 9x = 0

S₄: x² + y² + z² – 9 = 0

Tentukan titik kuasanya!

S₁ = S₂ = S₃ = S₄ 

–3z = –3y + 1 = –9x = –9

diperoleh x = 1, y = 10/3, z = 3

sehingga titik kuasanya adalah (1, 10/3, 3)