Kasus Istimewa Dua Bola Berpotongan

1. Sudut Potong Dua Bola

Sudut potong dua bola adalah sudut antara dua bidang singgung pada salahsatu titik persekutuan.

Misal diberikan dua bola S₁ berpusat di M₁ berjari-jari r₁, S₂ berpusat di M₂ berjari-jari r₂, titik P terletak pada lingkaran potong kedua bola, terbentuk segitiga M₁M₂P. Misal jarak antara kedua pusat adalah d, menurut aturan kosinus berlaku:

d² = r₁² + r₂² – 2.r₁.r₂.cos(𝜃)

2.r₁.r₂.cos(𝜃) = r₁² + r₂² – d²

cos(𝜃) = (r₁² + r₂² – d²)/(2.r₁.r₂)

contoh:

Diberikan dua bola S₁: x² + y² + z² + 6x + 8y + 10z + 1 = 0 dan S₂: x² + y² + z² – 2x + 4y – 8z – 4 = 0, tentukan sudut potong dari keduanya!

r₁² = ¼.36 + ¼.64 + ¼.100 – 1 = 49, r₁ = 7

r₂² = ¼.4 + ¼.16 + ¼.64 + 4 = 25, r₂ = 5

d² = (1 + 3)² + (–2 + 4)² + (4 + 5)² = 101

cos(𝜃) = (r₁² + r₂² – d²)/(2.r₁.r₂) = (49 + 25 – 101)/(2.7.5) = –27/70 = –0,3857

𝜃 = arccos(–0,3857) = 112,69°

2. Dua Bola Berpotongan Tegak Lurus

Dua bola berpotongan tegak lurus adalah yang sudut potongnya 90°

• Rumus Pythagoras

d² = r₁² + r₂²

Misal S₁: x² + y² + z² + A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 dan S₂: x² + y² + z² + A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

¼(A₁ – A₂)² + ¼(B₁ – B₂)² + ¼(C₁ – C₂)² = ¼A₁² + ¼B₁² + ¼C₁² – D₁ + ¼A₂² + ¼B₂² + ¼C₂² – D₂ 

–½A₁A₂ – ½B₁B₂ – ½C₁C₂ = – D₁ – D₂ 

½A₁A₂ + ½B₁B₂ + ½C₁C₂ – D₁ – D₂ = 0

• Kuasa M₁ terhadap S₂ besarnya adalah r₁² dan kuasa M₂ terhadap S₁ besarnya adalah r₂²

3. Satu Bola Membagi Dua Samabesar Bola Lain

Lingkaran potongnya merupakan lingkaran besar dari salahsatu dari kedua bola.

• Rumus Pythagoras

d² = r₁² – r₂²

Misal S₁: x² + y² + z² + A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 dan S₂: x² + y² + z² + A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

¼(A₁ – A₂)² + ¼(B₁ – B₂)² + ¼(C₁ – C₂)² = ¼A₁² + ¼B₁² + ¼C₁² – D₁ – ¼A₂² – ¼B₂² – ¼C₂² + D₂ 

¼A₂² – ½A₁A₂ + ¼B₂² – ½B₁B₂ + ¼C₂² – ½C₁C₂ = – D₁ – ¼A₂² – ¼B₂² – ¼C₂² + D₂ 

½A₂² – ½A₁A₂ + ½B₂² – ½B₁B₂ + ½C₂² – ½C₁C₂ + D₁ – D₂ = 0

• Kuasa M₂ terhadap S₁ besarnya adalah –r₂²

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Tentukan persamaan bola yang memotong tegak lurus S₁: x² + y² + z² – 6x + 4y – 2z – 11 = 0, membagi dua sama besar S₂: x² + y² + z² – 3 = 0, serta menyinggung garis g: x = 7 – 2y = –z di titik P(1, 3, –1).

• Misal persamaan bola S: x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0, berpusat di M(–½A, –½B, –½C) dengan kuadrat jari-jarinya r² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

• Bola S memotong tegak lurus S₁, sehingga berlaku rumus Pythagoras

(3 + ½A)² + (–2 + ½B)² + (1 + ½C)² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D + ¼.36 + ¼.16 + ¼.4 + 11

9 + 3A + ¼A² + 4 – 2B + ¼B² + 1 + C + ¼C² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D + 25

3A – 2B + C + D = 11 (i)

• Bola S membagi dua sama besar S₂, sehingga berlaku rumus Pythagoras

¼A² + ¼B² + ¼C² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D – 3

D = – 3, masukkan ke (i), menjadi 3A – 2B + C = 14 (ii)

• Bola S menyinggung g: x = 7 – 2y = –z di titik P(1, 3, –1)

P terletak di S, sehingga berlaku 1 + 9 + 1 + A + 3B – C + D = 0, masukkan nilai D, sehingga

A + 3B – C = –8 (iii)

MP = (1 + ½A, 3 + ½B, –1 + ½C)

S menyinggung g, sehingga g tegak lurus MP. Bilangan arah garis g adalah (2, –1, –2), sehingga berlaku 2(1 + ½A) – (3 + ½B) – 2(–1 + ½C) = 0 ↔ 2 + A – 3 – ½B + 2 – C = 0 ↔ 2A – B – 2C = –2 (iv)

Persamaan (ii), (iii), (iv) membentuk SPL, selesaikan, diperoleh A = 2, B = –2, C = 4

Jadi, persamaan bola S: x² + y² + z² + 2x – 2y + 4z – 3 = 0

2. Tentukan persamaan bola yang menyinggung S₁: x² + y² + z² – x + 3y + 2z – 3 = 0 pada titik (1, 1, –1) dan melalui titik O.

• Misal persamaan bola S: x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0, berpusat di M(–½A, –½B, –½C) dengan kuadrat jari-jarinya r² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

• Bola S melalui titik O, sehingga berlaku D = 0

• Bola S melalui titik (1, 1, –1), sehingga berlaku 1 + 1 + 1 + A + B – C + D = 0, masukkan D = 0, menjadi A + B – C = –3 (i)

• Bola S₁: x² + y² + z² – x + 3y + 2z – 3 = 0 berpusat di (½, –3/2, –1) dan kuadrat jari-jarinya ¼.1 + ¼.9 + ¼.4 + 3 = 13/2

• Bola S menyinggung S₁ di titik (1, 1, –1), sehingga pusat S, pusat S₁, dan titik (1, 1, –1) kolinear

(–½A, –½B, –½C), (½, –3/2, –1), dan (1, 1, –1) kolinear, berlaku perbandingan:

(½ + ½A)/(1 – ½) = (–3/2 + ½B)/(1 + 3/2) = (–1 + ½C)/(–1 + 1)

1 + A = (–3 + B)/5 = (–2 + C)/0, pembagian dengan nol tidak dibolehkan, tangani dengan memisalkan perbandingannya adalah t.

(A, B, C) = (–1, 3, 2) + t(1, 5, 0), masukkan ke (i)

–1 + t + 3 + 5t – 2 = –3

6t = –3

t = –½, masukkan ke bentuk parameter

(A, B, C) = (–1, 3, 2) – ½(1, 5, 0) = (–3/2, ½, 2)

Jadi, persamaan bola S: x² + y² + z² – (3/2)x + ½y + 2z = 0

3. Tentukan persamaan bola yang pusatnya terletak pada bidang V: x – 2y = 5 dan memotong bidang W: 3x – y + 2z = 1 menurut sebuah lingkaran yang berpusat di P(2, 1, –2) dengan jari-jari 5/2. Tentukan juga pusat dan jari-jarinya.

• Misal persamaan bola S: x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0, berpusat di M(–½A, –½B, –½C) dengan kuadrat jari-jarinya r² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

• M terletak di V, sehingga berlaku –½A + B = 5 ↔ –A + 2B = 10 (i)

• S dan W berpotongan menurut sebuah lingkaran yang berpusat di P(2, 1, –2)

MP tegak lurus W, sehingga bilangan arahnya sebanding

(2 + ½A)/3 = –(1 + ½B) = (–2 + ½C)/2, misal perbandingannya adalah t

(2 + ½A)/3 = –(1 + ½B) = (–2 + ½C)/2 = t, diperoleh persamaan parameter

(A, B, C) = (–4, –2, 4) + t(6, –2, 4), masukkan ke (i)

–(–4 + 6t) + 2(–2 – 2t) = 10

–10t = 10

t = –1, masukkan ke persamaan parameter

(A, B, C) = (–4, –2, 4) – (6, –2, 4) = (–10, 0, 0)

Sehingga pusat bola S adalah M(5, 0, 0)

• S dan W berpotongan menurut sebuah lingkaran yang berjari-jari 5/2, berlaku rumus Pythagoras

Kuadrat jarak M ke W sama dengan kuadrat jari-jari bola dikurangi kuadrat jari-jari lingkaran

(3.5 – 1)²/(3² + (–1)² + 2²) = ¼.100 – D – (5/2)²

196/14 = 25 – D – 25/4

D = 19/4

Kuadrat jari-jari S adalah ¼.100 – 19/4 = 81/4 dan jari-jari S adalah 9/2

Jadi, persamaan bola S: x² + y² + z² – 10x + 19/4 = 0, pusatnya M(5, 0, 0), jari-jarinya 9/2.

4. Tentukan persamaan bola yang melalui T(3, 2, 3) memotong tegak lurus bola S₁: x² + y² + z² + 2x + 1 = 0, S₂: x² + y² + z² – 2x + 1 = 0, S₃: x² + y² + z² + 3x + 4y + 1 = 0

• Misal persamaan bola S: x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0, berpusat di M(–½A, –½B, –½C) dengan kuadrat jari-jarinya r² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

• S melalui T, sehingga berlaku 3² + 2² + 3² + 3A + 2B + 3C + D = 0 ↔ 3A + 2B + 3C + D = –22 (i)

• S memotong tegaklurus S₁, sehingga berlaku A – D = 1 (ii)

• S memotong tegaklurus S₂, sehingga berlaku –A – D = 1 (iii)

• S memotong tegaklurus S₃, sehingga berlaku (3/2)A + 2B – D – 1 = 0 ↔ 3A + 4B – 2D = 2 (iv)

(ii) – (iii) → 2A = 0 ↔ A = 0

(ii) + (iii) → –2D = 2 ↔ D = –1, masukkan ke (iv)

3.0 + 4B + 2 = 2 ↔ 4B = 0 ↔ B = 0, masukkan ke (i)

3.0 + 2.0 + 3C – 1 = –22 ↔ 3C = –21 ↔ C = –7

Jadi, persamaan bola S: x² + y² + z² – 7z – 1 = 0