Persamaan Bola / Sfera (GAR)

1. Definisi

Bola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu.

Titik tertentu tersebut dinamakan titik pusat, sedangkan jarak yang sama tersebut dinamakan panjang jari-jari.

Digambarkan O titik pusat, P titik pada bola, segmen OP jari-jari, dan jarak |OP| panjang jari-jari.

2. Persamaan Bola

Misal suatu bola berpusat di M(a, b, c), dan P terletak di bola, sehingga P(x₀, y₀, z₀) berjarak r dari M, sehingga berlaku:

(x₀ − a)² + (y₀ − b)² + (z₀ − c)² = r², jalankan

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²

Kasus khusus untuk bola berpusat di O(0, 0, 0) adalah x² + y² + z² = r²

3. Bentuk Kanonik

Perhatikan (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²

x² − 2ax + a² + y² − 2by + b² + z² − 2cz + c² − r² = 0

x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + a² + b² + c² − r² = 0

Misal A = −2a, B = −2b, C = −2c, dan D = a² + b² + c² − r², persamaannya menjadi:

x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0

Pusatnya adalah M(−½A, −½B, −½C), sedangkan jari-jarinya perhatikan:

r² = a² + b² + c² − D = ¼A² + ¼B² + ¼C² − D, sehingga

contoh:

Diberikan persamaan bola x² + y² + z² + 8x − 10y − 6z + 1 = 0, tentukan pusat dan jari-jarinya.

Pusatnya adalah M(−½.8, −½.(−10), −½.(−6)) = M(−4, 5, 3)

r² = ¼.8² + ¼(−10)² + ¼(−6)² − 1 = 16 + 25 + 9 − 1 = 49, sehingga r = 7

Jadi, bola tersebut berpusat di M(−4, 5, 3) dan berjari-jari 7 satuan.

4. Persamaan Bola Melalui 4 Titik

Misal diberikan 4 titik P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂), P₃(x₃, y₃, z₃), dan P₄(x₄, y₄, z₄) dilalui oleh bola. Ingat kembali bahwa bentuk umum persamaan bola adalah x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0, masukkan masing-masing titik ke persamaan bola, akan diperoleh SPL berikut:

x₁² + y₁² + z₁² + Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 (i)

x₂² + y₂² + z₂² + Ax₂ + By₂ + Cz₂ + D = 0 (ii)

x₃² + y₃² + z₃² + Ax₃ + By₃ + Cz₃ + D = 0 (iii)

x₄² + y₄² + z₄² + Ax₄ + By₄ + Cz₄ + D = 0 (iv)

Selesaikan SPL, akan diperoleh nilai untuk A, B, C, dan D.

Contoh: Tentukan persamaan bola melalui P(4, 1, 0), Q(−4, 1, 0), R(0, 4, 0), S(4, 1, 4)

Masukkan titik-titik P, Q, R, S ke x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0, membentuk SPL:

4A + B + D + 17 = 0 (i)

−4A + B + D + 17 = 0 (ii)

4B + D + 16 = 0 (iii)

4A + B + 4C + D + 33 = 0 (iv)

Solusi dari SPL ini adalah (A, B, C, D) = (0, ⅓, −4, −52/3), sehingga persamaan bolanya

x² + y² + z² + ⅓y − 4z − 52/3 = 0

5. Menentukan Pusat dan Jari-Jari Bola melalui 4 Titik

Contoh: Diberikan 4 titik P(4, 1, 0), Q(−4, 1, 0), R(0, 4, 0), S(4, 1, 4), tentukan pusat bola yang melalui keempat titik tersebut dan jari-jarinya!

• Pilih salahsatu titik sebagai puncak, misal S

• Misal F pada pertengahan PS, buat bidang U melalui F tegak lurus PS

F = ½(P + S) = ½(4 + 4, 1 + 1, 0 + 4) = (4, 1, 2)

Bilangan arah PS = S − P = (4 − 4, 1 − 1, 4 − 0) = (0, 0, 4)

Persamaan bidang melalui F tegak lurus PS adalah 0(x − 4) + 0(y − 1) + 4(z − 2) = 0

U: z − 2 = 0

• Misal G pada pertengahan QS, buat bidang V melalui G tegak lurus QS

G = ½(Q + S) = ½(−4 + 4, 1 + 1, 0 + 4) = (0, 1, 2)

Bilangan arah QS = S − Q = (4 + 4, 1 − 1, 4 − 0) = (8, 0, 4)

Persamaan bidang melalui G tegak lurus QS adalah 8(x − 0) + 0(y − 1) + 4(z − 2) = 0

V: 2x + z − 2 = 0

• Misal H pada pertengahan RS, buat bidang W melalui H tegak lurus RS

H = ½(R + S) = ½(0 + 4, 4 + 1, 0 + 4) = (2, 5/2, 2)

Bilangan arah RS = S − R = (4 − 0, 1 − 4, 4 − 0) = (4, −3, 4)

Persamaan bidang melalui H tegak lurus RS adalah 4(x − 2) − 3(y − 5/2) + 4(z − 2) = 0

W: 4x − 8 − 3y + 15/2 + 4z − 8 = 0

W: 8x − 6y + 8z − 17 = 0

• Tentukan titik potong dari U, V, dan W

V − U → 2x = 0 ↔ x = 0, masukkan ke W bersama U

8.0 − 6y + 8.2 − 17 = 0 ↔ −6y − 1 = 0 ↔ y = −⅙

Titik potong ketiga bidang adalah M(0, −⅙, 2) yang merupakan pusat bola yang melalui P, Q, R, S.

Panjang jari-jari bola sama dengan jarak |MS|

|MS|² = (4 − 0)² + (1 + ⅙)² + (4 − 2)² = 16 + 49/36 + 4 = 769/36

|MS| = sqrt(769/36) = 4,6218 satuan.