Refleksi Geser (Glide Reflection)

1. Definisi

Misal diberikan garis s dan vektor AB dengan AB // s, yang dimaksud refleksi geser adalah pemetaan G yang memenuhi G = M_sS_AB.

2. Sifat Komutatif Komposisi Refleksi dan Geseran yang Sejajar

Misal diberikan garis s dan vektor AB dengan AB // s, berlaku M_sS_AB = S_ABM_s.

Misal garis r dan t keduanya tegak lurus s dan jarak keduanya ½|AB|, titik P merupakan perpotongan r dengan s, titik Q merupakan perpotongan s dengan t. Jarak P dan Q juga ½|AB|, sehingga H_QH_P = S_AB.

M_sS_AB = M_s(H_QH_P)

= M_s(M_sM_t)(M_rM_s)

= I(M_tM_r)M_s 

= S_ABM_s 

3. Invarian

Refleksi geser tidak memiliki titik tetap. Satu-satunya garis tetap adalah sumbunya sendiri.

• Refleksi geser merupakan komposisi dari refleksi dan geseran. Dikarenakan vektor geseran sejajar dengan sumbu refleksi, bayangan titik-titik yang tidak pada sumbu akan tetap berlawanan pihak terhadap sumbu, sehingga dipastikan berbeda dengan titik semula. Sedangkan titik-titik yang terletak pada sumbu akan bergeser menurut vektor geseran. Jadi, refleksi geser tidak memiliki titik tetap.

• Dikarenakan refleksi geser tidak memiliki titik tetap, garis-garis selain sumbu bukan garis tetap. Adapun garis sumbu, merupakan garis tetap refleksi sekaligus garis tetap geseran karena vektor geseran sejajar dengan garis sumbu, sehingga garis sumbu merupakan garis tetap.

4. Komposisi Refleksi dan Geseran yang Tidak Sejajar dan Tidak Tegak Lurus

Untuk sebarang vektor CD dan garis t dengan CD yang tidak tegak lurus t, terdapat suatu G sehingga G = S_CDM_t.

• Buat garis melalui D tegak lurus t

• Buat garis melalui C sejajar t, memotong garis sebelumnya di E

• Buat garis p sejajar t dengan jarak ½|ED| dari t

Mari kita uraikan:

S_CDM_t = S_CES_EDM_t 

= S_CEM_pM_tM_t 

= S_CEM_pI 

= S_CEM_p, garis p dan vektor CE sejajar

= G

5. Komposisi Refleksi dan Geseran yang Tegak Lurus

Untuk sebarang vektor CD dan garis t dengan CD yang tegak lurus t, terdapat garis p sehingga S_CDM_t = M_p.

Misal diberikan vektor CD dan garis t dengan CD yang tegak lurus t, buat garis p sejajar t dengan jarak ½|CD| dari t. Mari kita uraikan:

S_CDM_t = M_pM_tM_t = M_p 

6. Komposisi Refleksi dan Rotasi yang Pusatnya Tidak Terletak di Sumbu Refleksi

Untuk sebarang garis s dan titik A diluar s serta sudut α yang diketahui, terdapat G₁ dan G₂ sedemikian sehingga G₁ = M_sR_A,α dan G₂ = R_A,αM_s.

a. G₁ = M_sR_A,α 

Buat garis r melalui A sejajar s, buat garis t melalui A dengan sudut antara t dan r adalah ½α.

M_sR_A,α = M_sM_rM_t, karena s dan r sejajar, M_sM_r menghasilkan geseran

= S_CDM_t 

= G₁ 

b. G₂ = R_A,αM_s 

Buat garis r melalui A sejajar s, buat garis t melalui A dengan sudut antara t dan r adalah ½α.

R_A,αM_s = M_tM_rM_s, karena s dan r sejajar, M_rM_s menghasilkan geseran

= M_tS_CD 

= G₂ 

7. Komposisi Setengah Putaran dan Refleksi

Untuk sebarang garis s dan titik P diluar s, berlaku:

a. H_PM_s merupakan suatu G = M_rS_AB 

Buat garis t melalui P sejajar s, buat garis r melalui P tegak lurus t.

Garis r dan t berpotongan di P dan keduanya tegak lurus, sehingga dapat diuraikan:

H_PM_s = M_rM_tM_s, karena t dan s sejajar, komposisi M_tM_s menghasilkan geseran

= M_rS_AB 

= G

b. M_sH_P merupakan G = S_CDM_r 

Buat garis t melalui P sejajar s, buat garis r melalui P tegak lurus t.

Garis r dan t berpotongan di P dan keduanya tegak lurus, sehingga dapat diuraikan:

M_sH_P = M_sM_tM_r, karena t dan s sejajar, komposisi M_sM_t menghasilkan geseran

= S_CDM_r 

= G

Korolari:

Suatu G = M_sS_CD selalu dapat dinyatakan sebagai hasil komposisi H_BM_a atau M_bH_A dengan a ⊥ s dan b ⊥ s.

8. Komposisi Refleksi dan Rotasi yang Pusatnya Terletak di Sumbu Refleksi

Untuk sebarang garis s dan titik A yang terletak di s serta sudut α yang diketahui, terdapat garis p dan q sedemikian sehingga M_p = M_sR_A,α dan M_q = R_A,αM_s.

a. M_p = M_sR_A,α 

Buat garis p melalui A dengan sudut antara p dan s adalah ½α, sehingga dapat diuraikan:

M_sR_A,α = M_sM_sM_p = M_p 

b. M_q = R_A,αM_s 

Buat garis q melalui A dengan sudut antara q dan s adalah ½α.

R_A,αM_s = M_qM_sM_s = M_q 

9. Komposisi Tiga Refleksi

A. Komposisi tiga refleksi dengan sumbu-sumbunya sejajar.

Misal diberikan tiga garis r, s, dan t dengan ketiganya sejajar. Komposisi tiga refleksi M_tM_sM_r (tanpa memandang urutan) akan menghasilkan refleksi baru. Hal ini disebabkan komposisi dua refleksi yang sumbunya sejajar menghasilkan geseran dengan vektor geserannya tegak lurus dengan kedua sumbu. Dikarenakan sumbu ketiga tegak lurus dengan dua sumbu lainnya, sumbu ini juga tegak lurus dengan vektor geseran. Terbentuklah komposisi refleksi dan geseran yang vektor geserannya tegak lurus dengan sumbu refleksi, sehingga hasil akhirnya merupakan refleksi.

B. Komposisi tiga refleksi dengan sumbu-sumbunya konkuren.

Misal diberikan tiga garis r, s, dan t dengan ketiganya konkuren. Komposisi tiga refleksi M_tM_sM_r (tanpa memandang urutan) akan menghasilkan refleksi baru. Hal ini disebabkan komposisi dua refleksi terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi yang berpusat di titik potong kedua sumbu. Dikarenakan sumbu ketiga juga melalui titik potong tersebut, terbentuklah komposisi refleksi dan rotasi yang pusatnya terletak di sumbu refleksi, sehingga hasil akhirnya merupakan refleksi.

C. Komposisi tiga refleksi dengan sumbu-sumbunya tidak saling sejajar dan tidak konkuren

Komposisi tiga refleksi dengan sumbu-sumbunya tidak saling sejajar dan tidak konkuren menghasilkan refleksi geser.

Misal diberikan tiga garis r, s, dan t dengan ketiganya tidak saling sejajar dan tidak saling konkuren. Terdapat dua kemungkinan:

• Dua garis sejajar dan satu garis tidak sejajar

Misal diberikan tiga garis dengan dua diantaranya sejajar dan satu lagi tidak sejajar. Misal dikomposisikan refleksi terhadap dua garis sejajar, akan menghasilkan geseran dengan vektor gesernya tegak lurus dengan kedua garis. Dikarenakan garis ketiga tidak sejajar dengan dua garis lainnya, garis ini tidak tegak lurus dengan vektor geseran, sehingga hasil akhirnya merupakan refleksi geser.

• Tiga garis tidak sejajar sama sekali

Misal diberikan tiga garis yang tidak sejajar sama sekali (artinya masing-masing sepasang tidak sejajar). Misal dikomposisikan dua refleksi diantaranya, akan membentuk rotasi yang berpusat di titik potong dari keduanya. Dikarenakan garis ketiga tidak melalui titik potong dua garis lainnya, pusat rotasi tidak terletak pada garis ketiga ini, sehingga hasil akhirnya merupakan refleksi geser.

Contoh Soal dan Pembahasan

Diberikan garis s: y + 2 = 0, titik C(2, 2), dan R(4, 3). Tentukan titik D dan garis r sehingga dipenuhi H_RM_s = M_rS_CD.

• Buat garis t melalui R sejajar s, buat garis r melalui R tegak lurus t.

t: y = 4 dan r: x = 3

Garis r dan t berpotongan di R dan keduanya tegak lurus, sehingga dapat diuraikan:

H_RM_s = M_rM_tM_s = M_rS_CD, s dan t sejajar, dan jarak keduanya sama dengan ½|CD|.

Jarak s dan t adalah 6, sehingga |CD| = 2.6 = 12 satuan.

Vektor CD sejajar dengan r dan panjangnya 12 satuan, arahnya dari s ke t, CD = (0, 12)

Koordinat titik D = C + CD = (2, 2) + (0, 12) = (2, 14)

Jadi, koordinat titik D adalah D(2, 14) dan persamaan garis r: x = 3.