Metode Momen untuk Estimasi Titik

Misalkan X adalah variabel random dengan fungsi densitas probabilitas f(x) dan parameter populasi θ, maka untuk sampel random X₁, X₂, ..., X_n statistik θ̂ = g(X₁, X₂, ..., X_n) dinamakan estimator dari θ.

Terdapat berbagai macam metode untuk menentukan estimasi titik, diantaranya:

1. Metode Momen

2. Metode Maximum Likelihood

dan lain-lain. Disini akan kita bahas metode momen.

Berikut langkah-langkah menentukan estimator menggunakan metode momen:

1. Tentukan momen populasi

Momen ke-t dari populasi didefinisikan:

μ_t = E(X^t)

dengan t = 1, 2, ..., k (sebanyak k momen)

2. Tentukan momen sampel

Momen ke-t dari sampel didefinisikan:

dengan t = 1, 2, ..., k (sebanyak k momen)

3. Samakan momen populasi dan momen sampel

Setelah diperoleh momen-momen populasi dan sampel, samakan setiap momen yang bertepatan.

μ_t = m_t; t = 1, 2, ..., k

Contoh Soal

1. FDP dari distribusi Poisson dari VR X dengan parameter λ adalah

tentukan estimator untuk λ.

a. Momen populasi

μ₁ = E(X) = λ

b. Momen sampel

c. Samakan momen populasi dan momen sampel

λ̂ = x̄

Jadi, estimator untuk λ adalah x̄

2. FDP dari distribusi Normal dari VR X dengan parameter μ dan σ² adalah

tentukan estimator untuk μ dan σ².

a. Momen populasi

μ₁ = E(X) = μ

μ₂ = E(X²) = 𝜎² + 𝜇²

𝜎² = μ₂ − (μ₁)²

b. Momen sampel

m₁ = x̄

c. Samakan momen populasi dan momen sampel
Estimator untuk μ₁ adalah μ̂ = m₁ = x̄

Estimator untuk μ₂ adalah m₂ 

sehingga estimator untuk 𝜎² adalah m₂ − (m₁)², yaitu

3. FDP dari distribusi Eksponensial dari VR X dengan parameter θ adalah

tentukan estimator untuk θ.

a. Momen populasi

μ₁ = E(X) = θ

b. Momen sampel

m₁ = x̄

c. Samakan momen populasi dan momen sampel

θ̂ = x̄

4. FDP dari distribusi Binomial dari VR X dengan parameter p adalah

tentukan estimator untuk p

a. Momen populasi

μ₁ = E(X) = np ↔ p = μ₁/n

b. Momen sampel

m₁ = x̄

c. Samakan momen populasi dan momen sampel

μ₁ = m₁ 

p̂ = m₁/n = x̄/n

jadi, estimator untuk p adalah x̄/n.