Sixty Four Science

1. Keluarga Eksponensial dengan 1 Parameter Suatu FDP dengan satu parameter termasuk ke dalam keluarga eksponensial jika FDP tersebut dapat diuraikan dalam bentuk: f(x) = A(θ).B(x).e C(θ).D(x) , pada bentuk ini C(θ) disebut link function. Jika X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan VR yang saling bebas dan berdistribusi identik dengan FDP termasuk ke dalam keluarga eksponensial dengan satu parameter maka FDP bersamanya adalah: pada bentuk ini, ∑D(x) merupakan statistik cukup untuk θ. Tambahan: Fungsi yang berkorespondensi satu-satu dengan statistik cukup juga termasuk statistik cukup. 2. Keluarga Eksponensial dengan Lebih dari 1 Parameter Suatu FDP dengan k parameter termasuk ke dalam keluarga eksponensial jika FDP tersebut dapat diuraikan dalam bentuk: untuk menentukan statistik cukup, tentukan fungsi-fungsi x yang dikalikan dengan θ yang bersangkutan pada fungsi distribusi bersamanya. Contoh Soal 1. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan  sampel random dari VR X yang berdistribusi Poi...

T = T(X₁, X₂, ..., Xₙ) merupakan statistik cukup untuk parameter  θ  jika P[X₁ = x₁, X₂ = x₂, ... Xₙ = xₙ | T(X₁, X₂, ... Xₙ) = t] tidak bergantung pada  θ . Dapat juga dituliskan f(x₁, x₂, ..., xₙ | t), yang dapat dihitung dengan f(x₁, x₂, ..., xₙ | t) = f(x₁, x₂, ..., xₙ, t)/f(t). Tambahan: Fungsi yang berkorespondensi satu-satu dengan statistik cukup juga termasuk statistik cukup. Contoh Misal X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan  sampel random dari VR X yang berdistribusi Poisson dengan parameter  λ, apakah ∑x merupakan statistik cukup untuk  λ? Ingat kembali FDP VR X: fungsi bersyarat dari sampel random dikarenakan x₁, x₂, ..., xₙ tidak bergantung kepada ∑x, kita boleh menyederhanakan penulisan f(x₁, x₂, ..., xₙ, ∑x) menjadi f(x₁, x₂, ..., xₙ). (i) FDP bersama X₁, X₂, ..., Xₙ Karena X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan  sampel random, semuanya saling bebas dan  berdistribusi Poisson dengan parameter  λ. (ii) FDP untuk  ∑x ∑x berdistribusi Poiss...

θ̂ = g(X 1 , X 2 , ..., X n ) merupakan estimator yang baik dari  θ jika memenuhi ketiga kriteria: 1. Tak bias (tepat sasaran) 2. Konsisten (tidak berubah-ubah) 3. Efisien Disini kita akan membahas estimator efisien. Jika θ̂₁ dan θ̂₂ merupakan estimator tak bias bagi θ, maka θ̂₁ dikatakan estimator efisien bagi parameter θ jika Var(θ̂₁) < Var(θ̂₂). Jika terdapat beberapa estimator tak bias bagi θ, maka estimator efisien ditentukan yang mempunyai variansi minimum. Untuk keperluan tersebut dapat memanfaatkan batas bawah Cramer-Rao sebagai berikut: θ̂ dikatakan estimator efisien jika Var(θ̂) = BBCR Contoh 1. Variabel random X berdistribusi Poisson dengan parameter  λ, apakah estimator  λ̂ = x̄ efisien? Var[ λ̂] = λ/n. Untuk menentukan batas bawah Cramer-Rao, mula-mula ingat kembali FDP VR X: tarik logaritma ln(f(x)) = −λ + x.ln(λ) − ln(x!) turunankan 2 kali terhadap λ tentukan ekspektasi turunan parsial kedua tentukan BBCR Var[ λ̂] = BBCR, ini berarti ...

θ̂ = g(X 1 , X 2 , ..., X n ) merupakan estimator yang baik dari  θ jika memenuhi ketiga kriteria: 1. Tak bias (tepat sasaran) 2. Konsisten (tidak berubah-ubah) 3. Efisien Disini kita akan membahas estimator konsisten. θ̂ dikatakan estimator konsisten bagi parameter  θ jika dipenuhi: P(| θ̂  −  θ |  ≤ δ )  → 1 untuk n → ∞ sekilas terlihat sulit, tetapi kita dapat menggunakan ketaksamaan Chebyhev untuk mempermudah dimana μ adalah rerata dan σ² adalah variansi. Contoh: 1. Variabel random X berdistribusi Poisson dengan parameter  λ, apakah estimator  λ̂ = x̄ konsisten? ingat kembali bahwa E[ x̄ ] =  λ, berikut Var[ x̄ ]: sehingga limitkan n menuju  ∞ P(| λ̂   −  λ |  ≤ δ )  ≥ 1, karena peluang maksimum 1 P(| λ̂   −  λ |  ≤ δ ) = 1 ∴  P(| λ̂   −  λ |  ≤ δ )  → 1 untuk n → ∞. Jadi,  λ̂ estimator konsisten. 2.  VR X berd...

θ̂ = g(X 1 , X 2 , ..., X n ) merupakan estimator yang baik dari  θ jika memenuhi ketiga kriteria: 1. Tak bias (tepat sasaran) 2. Konsisten (tidak berubah-ubah) 3. Efisien Disini kita akan membahas estimator tak bias. θ̂ dikatakan estimator tak bias bagi  θ jika E( θ̂ ) =  θ. Contoh: 1. Variabel random X berdistribusi Poisson dengan parameter  λ, apakah estimator  λ̂ = x̄ tak bias? Jadi,  λ̂ = x̄ tak bias karena E[ λ̂ ] =  λ. 2. VR X berdistribusi normal dengan parameter μ dan  σ² , apakah  μ̂ = x̄ dan merupakan estimator tak bias? a. Untuk μ estimator ini tak bias. b. Untuk σ² untuk menentukan E[x̄²], perlu diketahui fungsi pembangkit momen. turunkan 2 kali secara parsial terhadap t masukkan t = 0 lanjutkan ekspektasi estimator σ² estimator ini bias, agar tidak bias perlu dikalikan dengan n/(n − 1). Sehingga rumus variansi untuk sampel adalah: sedangkan untuk populasi penyebut tetap n, karena diasumsikan nilai n sangat besar, sehin...