Estimator Efisien

θ̂ = g(X₁, X₂, ..., X_n) merupakan estimator yang baik dari θ jika memenuhi ketiga kriteria:

1. Tak bias (tepat sasaran)

2. Konsisten (tidak berubah-ubah)

3. Efisien

Disini kita akan membahas estimator efisien.

Jika θ̂₁ dan θ̂₂ merupakan estimator tak bias bagi θ, maka θ̂₁ dikatakan estimator efisien bagi parameter θ jika Var(θ̂₁) < Var(θ̂₂).

Jika terdapat beberapa estimator tak bias bagi θ, maka estimator efisien ditentukan yang mempunyai variansi minimum. Untuk keperluan tersebut dapat memanfaatkan batas bawah Cramer-Rao sebagai berikut:

θ̂ dikatakan estimator efisien jika Var(θ̂) = BBCR

Contoh

1. Variabel random X berdistribusi Poisson dengan parameter λ, apakah estimator λ̂ = x̄ efisien?

Var[λ̂] = λ/n.

Untuk menentukan batas bawah Cramer-Rao, mula-mula ingat kembali FDP VR X:

tarik logaritma

ln(f(x)) = −λ + x.ln(λ) − ln(x!)

turunankan 2 kali terhadap λ

tentukan ekspektasi turunan parsial kedua

tentukan BBCR

Var[λ̂] = BBCR, ini berarti λ̂ merupakan estimator efisien untuk λ.

2. VR X berdistribusi Binomial dengan parameter p, apakah estimator p̂ = x̄/n efisien?

Var[p̂] = p(1 − p)/n²

Untuk menentukan batas bawah Cramer-Rao, mula-mula ingat kembali FDP VR X:

tarik logaritma

turunkan terhadap p dua kali

tentukan ekspektasi turunan parsial kedua

tentukan BBCR

Var[p̂] = BBCR, ini berarti p̂ merupakan estimator efisien untuk p.

3. Variabel random X berdistribusi Eksponensial dengan parameter θ, apakah estimator θ̂ = x̄ efisien?

Var[θ̂] = θ²/n
Untuk menentukan batas bawah Cramer-Rao, mula-mula ingat kembali FDP VR X:

tarik logaritma

ln(f(x)) = −ln(θ) − x/θ

turunankan 2 kali terhadap θ

tentukan ekspektasi turunan parsial kedua

tentukan BBCR

Var[θ̂] = BBCR, ini berarti θ̂ merupakan estimator efisien untuk θ.