Metode Maximum Likelihood untuk Estimasi Titik

Misalkan X adalah variabel random dengan fungsi densitas probabilitas f(x) dan parameter populasi θ, maka untuk sampel random X₁, X₂, ..., X_n statistik θ̂ = g(X₁, X₂, ..., X_n) dinamakan estimator dari θ.

Terdapat berbagai macam metode untuk menentukan estimasi titik, diantaranya:

1. Metode Momen

2. Metode Maximum Likelihood

dan lain-lain. Disini akan kita bahas metode maximum likelihood.

Berikut ini langkah-langkah menentukan estimator menggunakan metode maximum likelihood:

1. Tentukan fungsi likelihood

Fungsi likelihood VR X dengan parameter θ didefinisikan:

L(θ) = f(x₁; θ)⋅f(x₂; θ)⋅⋅⋅f(x₂; θ)

dengan f(x; θ) adalah fungsi densitas probabilitas VR X dengan parameter θ. Dapat juga dituliskan:

Estimator maximum likelihood dari θ adalah nilai θ yang memaksimumkan L(θ).

2. Tarik logaritma natural dari fungsi likelihood

ln[L(θ)] = ln[f(x₁; θ)] + ln[f(x₂; θ)] + ... + ln[f(x_n; θ)]

dapat juga dituliskan:

3. Turunkan ln[L(θ)] secara parsial terhadap θ, samakan dengan 0

Contoh Soal

1. FDP dari distribusi Poisson dari VR X dengan parameter λ adalah

tentukan estimator untuk λ.

a. Fungsi likelihood

b. Tarik logaritma fungsi likelihood

c. Turunkan parsial

sehingga

Jadi, estimator untuk λ adalah x̄.

2. FDP dari distribusi Normal dari VR X dengan parameter μ dan σ² adalah

tentukan estimator untuk μ dan σ².

a. Fungsi likelihood

b. Tarik logaritma

c. Turunkan parsial
Turunan parsial terhadap μ

nx̄ − nμ = 0 ↔ μ̂ = x̄
Turunan parsial terhadap σ

uraikan

3. FDP dari distribusi Eksponensial dari VR X dengan parameter θ adalah

tentukan estimator untuk θ.

a. Fungsi likelihood

b. Tarik logaritma natural

c. Turunkan parsial

Jadi, θ̂ = x̄

4. FDP dari distribusi Binomial dari VR X dengan parameter p adalah

tentukan estimator untuk p.

a. Fungsi likelihood

b. Tarik logaritma natural

c. Turunkan parsial

Jadi, estimator untuk p adalah x̄/n.