Keluarga Eksponensial untuk Statistik Cukup

1. Keluarga Eksponensial dengan 1 Parameter

Suatu FDP dengan satu parameter termasuk ke dalam keluarga eksponensial jika FDP tersebut dapat diuraikan dalam bentuk:

f(x) = A(θ).B(x).e^C(θ).D(x), pada bentuk ini C(θ) disebut link function.

Jika X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan VR yang saling bebas dan berdistribusi identik dengan FDP termasuk ke dalam keluarga eksponensial dengan satu parameter maka FDP bersamanya adalah:

pada bentuk ini, ∑D(x) merupakan statistik cukup untuk θ.

Tambahan: Fungsi yang berkorespondensi satu-satu dengan statistik cukup juga termasuk statistik cukup.

2. Keluarga Eksponensial dengan Lebih dari 1 Parameter

Suatu FDP dengan k parameter termasuk ke dalam keluarga eksponensial jika FDP tersebut dapat diuraikan dalam bentuk:

untuk menentukan statistik cukup, tentukan fungsi-fungsi x yang dikalikan dengan θ yang bersangkutan pada fungsi distribusi bersamanya.

Contoh Soal

1. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan sampel random dari VR X yang berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Apakah f(x) merupakan keluarga eksponensial? jika iya, tentukan statistik cukupnya.

Ingat kembali FDP VR X:

coba uraikan f(x)

A(λ) = e^−λ; B(x) = 1/x!; C(λ) = ln(λ); D(x) = x.

FDP ini dapat diuraikan menjadi A(λ).B(x).e^C(λ).D(x), sehingga merupakan keluarga eksponensial.

Selanjutnya fungsi distribusi bersama dari X₁, X₂, ..., Xₙ adalah:

pada bentuk ini ∑x merupakan statistik cukup untuk λ.

2. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan sampel random dari VR X yang berdistribusi Binomial dengan parameter p. Apakah f(x) merupakan keluarga eksponensial? jika iya, tentukan statistik cukupnya.

Ingat kembali FDP VR X:

coba uraikan f(x)

A(p) = (1 − p)ⁿ; B(x) = C(n, x); C(p) = ln[p/(1 − p)]; D(x) = x.

FDP ini dapat diuraikan menjadi A(p).B(x).e^C(p).D(x), sehingga merupakan keluarga eksponensial.

Selanjutnya fungsi distribusi bersama dari X₁, X₂, ..., Xₙ adalah:

pada bentuk ini ∑x merupakan statistik cukup untuk p.

3. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan sampel random dari VR X~N(μ, σ²). Apakah f(x) merupakan keluarga eksponensial? jika iya, tentukan statistik cukup untuk μ dan σ.

Ingat kembali FDP VR X:

coba uraikan f(x)

perhatikan

FDP ini dapat diuraikan menjadi A(μ, σ).B(x).e^{C₁(μ, σ).D₁(x) + C₂(μ, σ).D₂(x)}, sehingga merupakan keluarga eksponensial dengan dua parameter.

Selanjutnya fungsi distribusi bersama dari X₁, X₂, ..., Xₙ adalah:

Perhatikan bahwa statistik yang dikalikan dengan μ hanya ∑x, sehingga statistik cukup untuk μ adalah ∑x. Adapun statistik yang dikalikan dengan σ adalah ∑x dan ∑x², sehingga statistik cukup untuk σ adalah ∑x dan ∑x².