Koset Kiri dan Koset Kanan

1. Koset Kiri dan Koset Kanan

Misal H subgrup dari G dan g ∈ G. Didefinisikan dua himpunan sebagai berikut:

gH = {gh | h ∈ H} dan Hg = {hg | h ∈ H}.

Menurut definisi ini, gH disebut koset kiri dan Hg disebut koset kanan.

Sebagai contoh perhatikan (3ℤ, +) yang merupakan subgrup dari (ℤ, +):

0 + 3ℤ = {..., –6, –3, 0, 3, 6, ...}

1 + 3ℤ = {..., –5, –2, 1, 4, 7, ...}

2 + 3ℤ = {..., –4, –1, 2, 5, 8, ...}

3 + 3ℤ = {..., –3, 0, 3, 6, 9, ...}

4 + 3ℤ = {..., –2, 1, 4, 7, 10, ...}

Kita amati bahwa 0 + 3ℤ = 3 + 3ℤ dan 1 + 3ℤ = 4 + 3ℤ. Jika diteruskan akan diperoleh:

0 + 3ℤ = 3 + 3ℤ = 6 + 3ℤ = ...

1 + 3ℤ = 4 + 3ℤ = 7 + 3ℤ = ...

2 + 3ℤ = 5 + 3ℤ = 8 + 3ℤ = ...

Kita peroleh bahwa 3ℤ memiliki 3 koset kiri berbeda pada (ℤ, +).

2. Relasi Ekivalen Pembangkit Koset

A. Relasi ekivalen pembangkit koset kanan

Misalkan U subgrup dari G. Misal diambil relasi R = {(u, v) ∈ G × G: uv⁻¹ ∈ U}.

Misalkan g unsur G yang tetap. Misalkan a ∈ [g] sebarang. Maka ag⁻¹ ∈ U, artinya ag⁻¹ = u, untuk suatu u ∈ U. Maka a = ug. Dengan mendefinisikan Ug = {ug : u ∈ U}, kita peroleh a ∈ Ug. Dengan demikian [g] ⊆ Ug.

Di pihak lain, misalkan u ∈ U. Maka (ug)g⁻¹ = u(gg⁻¹) = u ∈ U. Akibatnya ug dan g ekuivalen, yaitu ug ∈ [g]. Dengan demikian [g] ⊇ Ug. Jadi [g] = Ug.

Kelas-kelas ekivalen yang terbentuk membangkitkan koset-kanan kanan dari U pada G.

B. Relasi ekivalen pembangkit koset kiri

Misalkan U subgrup dari G. Misal diambil relasi T = {(u, v) ∈ G × G: u⁻¹v ∈ U}.

Dengan cara yang sama sebagaimana poin (A), kita memperoleh [g] = gU.

Kelas-kelas ekivalen yang terbentuk membangkitkan koset-kanan kiri dari U pada G.

Ringkasnya poin (A) dan (B) sebagai berikut:

aH = bH ⇔ a⁻¹b ∈ H

Ha = Hb ⇔ ab⁻¹ ∈ H

C. Keawetan koset

Misalkan U subgrup dari G. Pernyataan berikut ekivalen:

(i) g ∈ U

(ii) U = [g] = Ug = gU

Dengan kata lain, koset yang terbentuk oleh anggota-anggota dari U sama dengan U itu sendiri.

D. Mengkonstruksi fungsi bijektif dari subgrup ke koset

Misalkan g ∈ G. Pengaitan u ke ug untuk setiap u ∈ U, mendefinisikan fungsi bijektif dari U ke Ug.

Bukti:

Untuk melihat sifat surjektif dari fungsi di atas, misalkan x ∈ Ug. Maka x = vg, untuk suatu v ∈ U. Maka pemetaan dimaksud mengaitkan v ke x. Jadi pemetaan dimaksud bersifat surjektif.

Sifat injektif diturunkan dari hukum kanselasi yang berlaku pada grup. Persisnya, misalkan v, w ∈ U oleh pemetaan dimaksud dikaitkan ke unsur Ug yang sama. Maka vg = wg dan dengan pembatalan kanan kita peroleh v = w. Ini menunjukkan sifat injektif dari fungsi dan dengan demikian fungsi dimaksud bersifat bijektif.

E. Kesamaan Orde

Orde semua koset (baik koset kiri maupun koset kanan) dari suatu subgrup sama dengan orde subgrup tersebut.

Disimbolkan (∀g ∈ G). |U| = |Ug| = |gU|

3. Subgrup Normal

Diberikan grup G dengan H merupakan subgrup dari G. Subgrup H disebut subgrup normal jika untuk setiap g di G berlaku gH = Hg.

Cukup mudah dimengerti bahwa semua subgrup dari grup Abel merupakan subgrup normal. Adapun subgrup dari grup non-Abel bisa jadi subgrup normal, bisa jadi bukan subgrup normal.

4. Invers Koset

Diberikan grup Abel G dan subgrup H di G, berlaku (∀a ∈ G). (Ha)⁻¹ = Ha⁻¹

Bukti:

Ambil sebarang a ∈ G. Perhatikan bahwa

Ha * Ha⁻¹ = Haa⁻¹ = He

dan

(Ha)⁻¹ * Ha = Ha⁻¹a = He.

Berarti diperoleh bahwa Ha⁻¹ merupakan elemen invers dari Ha. Padahal invers dari Ha adalah (Ha)⁻¹. Karena sifat ketunggalan elemen invers, maka terbukti bahwa (Ha)⁻¹ = Ha⁻¹.