Sixty Four Science

1. Indeks Subgrup Koset-koset kanan dari U dalam G memiliki kardinalitas yang sama, yaitu sebanyak elemen di U. Banyaknya elemen suatu grup G disebut sebagai orde G, ditulis o(G). Dengan demikian, kardinalitas setiap koset kanan dari U dalam G adalah o(U). Didefinisikan indeks U di G, ditulis |G : U|, sebagai banyaknya koset kanan dari U dalam G. Untuk subgrup trivial kita memiliki |G : {e}| = o(G) dan |G : G| = 1. 2. Teorema Lagrange Misalkan G grup hingga. Maka o(G) = |G:U| ⋅ o(U). Bukti: Kita lihat bahwa himpunan semua koset kanan dari U dalam G membentuk partisi pada G. Maka orde G sama dengan banyaknya elemen dalam gabungan semua koset kanan. Terdapat |G:U| koset kanan yang masing-masing mempunyai kardinalitas o(U). Karena koset-koset kanan tersebut sepasang-sepasang saling lepas, maka banyaknya unsur dalam gabungan semua koset kanan adalah |G:U| ⋅ o(U). Jadi, o(G) = |G:U| ⋅ o(U). ■ Tambahan: Dari teorema Lagrange ini kita mengetahui bahwa orde dari subgrup membagi habis orde dari...

1. Koset Kiri dan Koset Kanan Misal H subgrup dari G dan g ∈ G. Didefinisikan dua himpunan sebagai berikut: gH = {gh | h ∈ H} dan Hg = {hg | h ∈ H}. Menurut definisi ini, gH disebut koset kiri dan Hg disebut koset kanan. Sebagai contoh perhatikan (3ℤ, +) yang merupakan subgrup dari (ℤ, +): 0 + 3ℤ = {..., –6, –3, 0, 3, 6, ...} 1 + 3ℤ = {..., –5, –2, 1, 4, 7, ...} 2 + 3ℤ = {..., –4, –1, 2, 5, 8, ...} 3 + 3ℤ = {..., –3, 0, 3, 6, 9, ...} 4 + 3ℤ = {..., –2, 1, 4, 7, 10, ...} Kita amati bahwa 0 + 3ℤ = 3 + 3ℤ dan 1 + 3ℤ = 4 + 3ℤ. Jika diteruskan akan diperoleh: 0 + 3ℤ = 3 + 3ℤ = 6 + 3ℤ = ... 1 + 3ℤ = 4 + 3ℤ = 7 + 3ℤ = ... 2 + 3ℤ = 5 + 3ℤ = 8 + 3ℤ = ... Kita peroleh bahwa 3ℤ memiliki 3 koset kiri berbeda pada (ℤ, +). 2. Relasi Ekivalen Pembangkit Koset A . Relasi ekivalen pembangkit koset kanan Misalkan U subgrup dari G. Misal diambil relasi R = {(u, v) ∈ G × G: uv⁻¹ ∈ U}. Misalkan g unsur G yang tetap. Misalkan a ∈ [g] sebarang. Maka ag⁻¹ ∈ U, artinya ag⁻¹ = u, untuk suatu u ∈ U. Maka a = ug....

1. Definisi dan Contoh A . Definisi Relasi Misalkan S suatu himpunan tak kosong dan misalkan pula R suatu subset tak kosong dari hasil kali kartesius S×S. Secara umum kita katakan bahwa R adalah suatu relasi pada S. B . Relasi Ekivalen Relasi R adalah relasi ekivalen pada S jika memenuhi ketiga sifat berikut: 1. Refleksif (a, a) ∈ R, untuk semua a ∈ S 2. Simetris Jika (a, b) ∈ R, maka (b, a) ∈ R, untuk semua a, b ∈ S 3. Transitif Jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk semua a, b, c ∈ S. Jika (a,b) unsur suatu relasi ekuivalen, kita katakan bahwa a ekuivalen dengan b. C . Contoh Berikut ini beberapa contoh: 1. Relasi "=" merupakan relasi ekivalen. 2. Relasi "≤" dan "≥" bukan relasi ekivalen karena tidak simetris. 3. Relasi "<" dan ">" bukan relasi ekivalen karena tidak refleksif. 4. Kekongruenan modulo m pada aritmetika modular merupakan relasi ekivalen. 2. Poset (Relasi Terurut) A . Poset Tidak Tegas Relasi R adala...