Teorema Lagrange dan Penggunaannya

1. Indeks Subgrup

Koset-koset kanan dari U dalam G memiliki kardinalitas yang sama, yaitu sebanyak elemen di U. Banyaknya elemen suatu grup G disebut sebagai orde G, ditulis o(G). Dengan demikian, kardinalitas setiap koset kanan dari U dalam G adalah o(U).

Didefinisikan indeks U di G, ditulis |G : U|, sebagai banyaknya koset kanan dari U dalam G.

Untuk subgrup trivial kita memiliki |G : {e}| = o(G) dan |G : G| = 1.

2. Teorema Lagrange

Misalkan G grup hingga. Maka o(G) = |G:U| ⋅ o(U).

Bukti:

Kita lihat bahwa himpunan semua koset kanan dari U dalam G membentuk partisi pada G. Maka orde G sama dengan banyaknya elemen dalam gabungan semua koset kanan. Terdapat |G:U| koset kanan yang masing-masing mempunyai kardinalitas o(U). Karena koset-koset kanan tersebut sepasang-sepasang saling lepas, maka banyaknya unsur dalam gabungan semua koset kanan adalah |G:U| ⋅ o(U).

Jadi, o(G) = |G:U| ⋅ o(U). ■

Tambahan:

Dari teorema Lagrange ini kita mengetahui bahwa orde dari subgrup membagi habis orde dari grupnya. Boleh juga dikatakan orde yang memungkinkan dari subgrup adalah faktor-faktor dari orde grup.

Dengan membagi masing-masing ruas dengan o(U), diperoleh |G:U| = o(G) ÷ o(U).

3. Grup Siklis dan Penggunaan Teorema Lagrange

A. Definisi Subgrup Siklis

Misalkan a ∈ G. Himpunan semua pangkat dari a, yaitu {aᵐ : m ∈ ℤ} adalah subgrup dari G. Subgrup seperti ini kita namakan subgrup siklis yang dibangun oleh a dan dituliskan sebagai ⟨a⟩.

B. Orde Grup Siklis

Orde dari a adalah bilangan asli terkecil m yang memenuhi aᵐ = e. Dalam hal ini dituliskan o(a) = m. Adapun jika A grup siklis, orde dari A disimbolkan |A|. Lebih lanjut jika A = ⟨a⟩ maka o(a) = |A|. Boleh juga dituliskan o(a) = o(⟨a⟩).

Catatan: Orde bisa berhingga maupun tak hingga.

C. Pembangun dari (ℤₙ, +)

Telah kita ketahui bahwa (ℤₙ, +) merupakan grup siklik. Pembangun-pembangun dari (ℤₙ, +) adalah bilangan-bilangan yang koprim dengan n.

D. Siklisitas Subgrup

Subgrup suatu grup siklis mestilah siklis.

Bukti:

Misalkan H ≤ ⟨g⟩, elemen-elemen H berbentuk gᵏ. Pilih k > 0 terkecil sehingga gᵏ ∈ H. Kita klaim bahwa H = ⟨gᵏ⟩.

Andaikan tidak. Maka terdapat gˡ ∈ H sehingga gˡ ≠ (gᵏ)ᵐ, ∀ᵐ. Algoritma pembagian memberikan l = mk + r, dengan 0 ≤ r < k. Akan tetapi ini berarti gʳ = gˡ⁻ᵐᵏ = gˡg⁻ᵐᵏ = gˡ(gᵏ)⁻ᵐ, sebagai hasil kali elemen-elemen di H, merupakan elemen H, suatu kontradiksi dengan pemilihan k sebagai pangkat terkecil positif elemen di H. ■

E. Orde Prima

Jika orde dari G bilangan prima, maka G grup siklis yang dibangun oleh sebarang elemen yang bukan identitas.

Bukti:

Misalkan g ∈ G dan g ≠ e. Maka o(g) > 1 dan membagi habis o(G) = p. Karena p bilangan prima, maka haruslah o(g) = p. Maka o(G) = p = o(g) = o(⟨g⟩), dan karena ⟨g⟩ ≤ G, dengan demikian G = ⟨g⟩. Jadi G grup siklis yang dibangun oleh g, sebarang elemen G yang bukan identitas.

4. Penggunaan Teorema Lagrange Lebih Umum

A. Orde Elemen

Jika G grup hingga, maka orde setiap elemen di G mestilah membagi habis orde G.

Bukti:

Misalkan g ∈ G. Maka o(g) = o(⟨g⟩). Menurut Teorema Lagrange, o(⟨g⟩) membagi habis orde G. Jadi o(g) membagi habis o(G). ■

B. Menghasilkan elemen identitas

Diberikan grup berhingga G dengan o(G) = n, berlaku (∀g ∈ G). gⁿ = e

Bukti:

Ambil sebarang g ∈ G, misalkan o(g) = k. Menurut poin (A), k | n, berarti terdapat bilangan bulat t sehingga n = kt.

Selanjutnya gⁿ = gᵏᵗ = (gᵏ)ᵗ = eᵗ = e. □

C. Hubungan Orde Perkalian dan Irisan Subgrup

Misal H dan K keduanya subgrup berhingga dari G, berlaku hubungan berikut:

|HK| · |H ∩ K| = |H| · |K|

Catatan: Persyaratan orde berhingga hanya untuk H dan K, adapun orde G boleh berhingga dan boleh juga tak hingga.

D. Transisi Indeks

Misal K subgrup dari H dan H subgrup dari G, berlaku hubungan berikut:

|G:K| = |G:H| · |H:K|

Bukti:

|G:H| · |H:K| = (|G|/|H|) · (|H|/|K|) = |G|/|K| = |G:K|.