Turunan Numerik dengan Rumus Interpolasi Belakang Newton

Misalkan fungsi y = f(x) diketahui nilainya pada (n + 1) titik yang berjarak sama (ekuidistan), yaitu x₀, x₁, x₂, ..., xₙ. Nilai fungsi pada titik-titik tersebut berturut-turut adalah y₀, y₁, y₂, ..., yₙ. Kita definisikan hubungan variabel bebasnya sebagai berikut:

xᵢ = x₀ + ih, untuk i = 0, 1, 2, ..., n

dan p = (x – xₙ)/h

Di mana h adalah jarak antar titik (spacing).

Berdasarkan Rumus Interpolasi Belakang Newton dinyatakan sebagai:

Untuk memudahkan proses penurunan (diferensiasi), kita perlu menjabarkan suku-suku perkalian p pada persamaan di atas menjadi bentuk polinomial biasa. Persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi:

Jika diteruskan, berikut polinom dari p:

Orde 5: (p + 4)(p⁴ + 6p³ + 11p² + 6p) = p⁵ + 10p⁴ + 35p³ + 50p² + 24p

Orde 6: (p + 5)(p⁵ + 10p⁴ + 35p³ + 50p² + 24p) = p⁶ + 15p⁵ + 85p⁴ + 225p³ + 274p² + 120p

Orde 7: (p + 6)(p⁶ + 15p⁵ + 85p⁴ + 225p³ + 274p² + 120p) = p⁷ + 21p⁶ + 175p⁵ + 735p⁴ + 1624p³ + 1764p² + 720p, dan seterusnya...

Ketika persamaan tersebut diturunkan terhadap x secara berturut-turut, kita mendapatkan rumus untuk turunan pertama:

Jika diteruskan, berikut polinom dari p:

Orde 5: 5p⁴ + 40p³ + 105p² + 100p + 24

Orde 6: 6p⁵ + 75p⁴ + 340p³ + 675p² + 548p + 120

Orde 7: 7p⁶ + 126p⁵ + 875p⁴ + 2940p³ + 4872p² + 3528p + 720, dan seterusnya...

Untuk turunan kedua sebagai berikut:

Jika diteruskan, berikut polinom dari p:

Orde 5: 20p³ + 120p² + 210p + 100

Orde 6: 30p⁴ + 300p³ + 1020p² + 1350p + 548

Orde 7: 42p⁵ + 630p⁴ + 3500p³ + 8820p² + 9744p + 3528, dan seterusnya...

Kasus khusus untuk turunan di titik akhir, yaitu xₙ, diperoleh p = 0, sehingga turunannya adalah:

Contoh Soal

Jarak x, dalam satuan kilometer, dari pembalap motor dari suatu titik diukur setiap 0,25 jam. Diperoleh data:

t (jam)	0	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,50
x (km)	0	3,2	6,8	15	18,4	20,9	25,7

Tentukan kecepatan dan percepatan ketika t = 1,4 jam.

Solusi:

Diberikan h = 0,25 – 0 = 0,25. Waktu 1,4 terletak di akhir; gunakan rumus selisih belakang Newton.

Buat tabel selisih berikut:

t	x
0	0
		3,2
0,25	3,2		0,4
		3,6		4,2
0,5	6,8		4,6		-13,6
		8,2		-9,4		26,9
0,75	15		-4,8		13,3		-40,9
		3,4		3,9		-14
1	18,4		-0,9		-0,7
		2,5		3,2
1,25	20,9		2,3
		4,8
1,5	25,7

p = (1,4 – 1,5)/(0,25) = –0,4

≈ 23,59529.

≈ –139,089.

Jadi, kecepatan ketika t = 1,4 jam adalah 23,59529 km/jam dan percepatannya –139,089 km/jam².