Diferensial Eksak dan Integral Garisnya
1. Bentuk Diferensial Orde Pertama Dalam Dua Variabel
Suatu ekspresi seperti
M(x, y) dx + N(x, y) dy
disebut sebagai bentuk diferensial orde pertama dalam dua variabel. Sebagai contoh, misalnya,
(y sin x – 1) dx + cos x dy,
(x² + y²) dx – 2xy dy.
Fungsi M dan N yang muncul dalam bentuk tersebut diasumsikan terdefinisi dalam suatu wilayah (region) di bidang. Dalam praktiknya, pembatasan kontinuitas dan diferensial tertentu akan diberlakukan pada fungsi-fungsi tersebut.
2. Definisi Diferensial Eksak
Suatu bentuk diferensial disebut sebagai diferensial eksak jika ia merupakan diferensial dari suatu fungsi u di semua titik pada suatu wilayah di bidang-xy. Karena
du = (∂u/∂x) dx + (∂u/∂y) dy,
ini berarti bahwa M dx + N dy adalah eksak jika ada suatu fungsi u yang dapat didiferensialkan sedemikian rupa sehingga
M = ∂u/∂x, N = ∂u/∂y
di setiap titik pada suatu wilayah. Ada banyak bentuk diferensial yang tidak eksak.
Definisi. Bentuk diferensial M dx + N dy dikatakan eksak pada titik (a, b) jika terdapat suatu fungsi bernilai tunggal u yang dapat didiferensialkan yang terdefinisi dalam suatu lingkungan (neighborhood) dari (a, b), sedemikian rupa sehingga du = M dx + N dy di semua titik pada lingkungan tersebut.
Perhatikan bahwa, dalam mendefinisikan keeksakan suatu bentuk pada suatu titik, kita sebenarnya menempatkan kondisi pada bentuk tersebut di semua titik pada suatu lingkungan dari titik tersebut, bukan hanya pada titik itu sendiri.
Masalah mendasar yang berkaitan dengan diferensial eksak dapat dinyatakan dalam dua bagian:
• Bagaimana seseorang dapat mengetahui dengan memeriksa M dan N apakah bentuk diferensial tersebut eksak atau tidak pada titik tertentu?
• Jika bentuk diferensial tersebut diketahui eksak, bagaimana seseorang dapat benar-benar menemukan fungsi yang bentuk diferensialnya merupakan diferensial dari fungsi tersebut?
Kedua pertanyaan ini dapat dijawab dengan bantuan integral garis, asalkan kita mengasumsikan bahwa M dan N memiliki turunan parsial pertama yang kontinu.
3. Diferensial Eksak pada Persegi Panjang
Jika M dan N memiliki turunan parsial pertama yang kontinu di semua titik pada suatu persegi panjang terbuka, bentuk diferensial tersebut eksak di setiap titik pada persegi panjang jika dan hanya jika kondisi
∂M/∂y = ∂N/∂x
terpenuhi di seluruh persegi panjang tersebut.
Ketika kondisi ini terpenuhi, fungsi u sedemikian rupa sehingga du = M dx + N dy disediakan oleh integral garis
di sepanjang jalur dari (a, b) ke (x, y), di mana (a, b) adalah pusat dari persegi panjang tersebut.
4. Integral Garis untuk Diferensial Eksak
Misalkan u = f(x, y) adalah fungsi bernilai tunggal dengan diferensial du = M dx + N dy di semua titik pada suatu wilayah. Misalkan C adalah kurva yang terletak di wilayah ini, dan misalkan C memiliki titik awal (x₀, y₀) dan titik akhir (x₁, y₁). Kita mengasumsikan M dan N kontinu, dan C mulus secara bagian demi bagian (sectionally smooth). Maka
Contoh Soal
1. Cek keeksakan bentuk diferensial (y cos x + 2x) dx + (sin x – 1) dy. Jika eksak, tentukan fungsi umumnya.
Diberikan bentuk diferensial dengan M(x, y) = y cos x + 2x dan N(x, y) = sin x – 1
∂M/∂y = 2x, ∂N/∂x = 2x
Karena ∂M/∂y = ∂N/∂x = 2x, maka bentuk diferensial ini eksak.
Karena eksak, maka ∂u/∂x = M dan ∂u/∂y = N.
Integralkan N terhadap y:
u(x, y) = ∫ (sin x – 1) dy = y sin x – y + h(x)
Di sini, h(x) adalah fungsi sembarang yang hanya bergantung pada x (sebagai konstanta integrasi terhadap y).
Turunkan u(x, y) yang baru diperoleh terhadap x, lalu samakan dengan M:
∂u/∂y = y cos x + h'(x)
Samakan dengan M(x, y) = y cos x + 2x:
y cos x + h'(x) = y cos x + 2x
h'(x) = 2x
Integralkan h'(x) terhadap x:
h(x) = ∫ 2x dx = x² + C
Fungsi umum u(x, y) adalah:
u(x, y) = y sin x – y + x² + C
2. Misal C adalah segmen garis y = 3x – 3 dari titik awal (1, 0) ke titik akhir (2, 3). Tentukan hasil integral
f(x, y) = x²y + 3x – 4y
Karena C kurva mulus, hasil integral garisnya bisa ditentukan dengan mudah.
f(1, 0) = 0 + 3 – 0 = 3
f(2, 3) = 12 + 6 – 12 = 6
Komentar
Posting Komentar