Integral Garis

Integral garis, atau disebut juga integral kurva, merupakan salah satu bentuk generalisasi dari integral tentu biasa. Jika pada integral tentu biasa kita melakukan integrasi di sepanjang selang garis lurus [a, b] pada sumbu x, maka pada integral garis kita mengintegrasikan suatu fungsi di sepanjang lintasan kurva C pada bidang dua dimensi maupun ruang tiga dimensi.

1. Konstruksi Limit

A. Konstruksi terhadap Panjang Busur

Salah satu jenis generalisasi dari integral tentu tunggal diperoleh dengan mengganti himpunan [a, b] tempat kita mengintegrasikan dengan himpunan dua dan tiga dimensi. Hal ini membawa kita pada integral lipat dua dan lipat tiga.

Generalisasi yang sangat berbeda diperoleh dengan mengganti [a, b] dengan kurva C pada bidang XOY. Integral yang dihasilkan, disebut sebagai integral garis, tetapi sebenarnya lebih tepat disebut sebagai integral kurva.

Misalkan C adalah kurva bidang yang mulus; artinya, misalkan C diberikan secara parametrik oleh:

x = x(t),    y = y(t),    a ≤ t ≤ b

di mana x' dan y' kontinu dan tidak bernilai nol secara bersamaan pada (a, b). Kita katakan bahwa C berorientasi positif jika arahnya bersesuaian dengan peningkatan nilai t. Kita mengasumsikan bahwa C berorientasi positif dan C ditelusuri hanya sekali saat t bervariasi dari a ke b. Dengan demikian, C memiliki titik awal A = (x(a), y(a)) dan titik akhir B = (x(b), y(b)). Perhatikan partisi P dari interval parameter [a, b] yang diperoleh dengan memasukkan titik-titik:

a = t₀ < t₁ < t₂ < ... < tₙ = b

Partisi dari [a, b] ini menghasilkan pembagian kurva C menjadi n sub-busur Pᵢ₋₁Pᵢ di mana titik Pᵢ bersesuaian dengan tᵢ. Misalkan Δsᵢ menyatakan panjang busur Pᵢ₋₁Pᵢ, dan misalkan ‖P‖ menyatakan norma dari partisi P; yaitu, misalkan ‖P‖ adalah nilai Δtᵢ = tᵢ – tᵢ₋₁ terbesar. Akhirnya, pilih titik sampel Qᵢ(x̄ᵢ, ȳᵢ) pada sub-busur Pᵢ₋₁Pᵢ.

Sekarang, perhatikan jumlah Riemann berikut:

ika f bernilai nonnegatif, jumlah ini mendekati luas permukaan tirai vertikal melengkung yang ditunjukkan pada Gambar 2. Jika f kontinu pada wilayah D yang memuat kurva C, maka jumlah Riemann ini memiliki limit saat ‖P‖ → 0. Limit ini disebut sebagai integral garis dari f sepanjang C dari A ke B terhadap panjang busur; yaitu,

B. Konstruksi terhadap Variabel Koordinat

Misalkan C adalah kurva berorientasi dengan titik awal A dan titik akhir B. Misalkan F menyatakan fungsi titik skalar yang terdefinisi dan kontinu di sepanjang C. Misalkan titik-titik P₀, P₁, ..., Pₙ dipilih secara berurutan di sepanjang C, dengan A = P₀, Pₙ = B.

Misalkan Qₖ adalah sembarang titik pada C di antara Pₖ₋₁ dan Pₖ. Dalam sistem koordinat tegak lurus yang diberikan, misalkan koordinat Pₖ adalah (xₖ, yₖ, zₖ), dan misalkan Δxₖ = xₖ – xₖ₋₁. Bentuklah jumlah

jika jumlah dari jenis ini memiliki nilai limit saat n → ∞ dan panjang tali busur terbesar P₀P₁, ..., Pₙ₋₁Pₙ mendekati nol, kita menyatakan limit tersebut dengan

dan menyebutnya sebagai integral garis dari F terhadap x di sepanjang C. Jika P adalah titik (x, y, z), dan jika F(P) dinyatakan dengan f(x, y, z), notasi alternatif untuk integral garis tersebut adalah

Integral garis terhadap y atau z didefinisikan dengan cara yang sama, dengan Δyₖ atau Δzₖ menggantikan Δxₖ

2. Interpretasi Geometris: Luas Dinding Melengkung (Tirai)

Untuk f(x, y) ≥ 0, integral ini merepresentasikan luas sebenarnya dari tirai melengkung.
Definisi tersebut tidak memberikan cara yang sangat praktis untuk mengevaluasi integralnya. Hal terbaik untuk menyelesaikannya adalah dengan menyatakan semuanya dalam bentuk parameter t, yang akan mengarah pada integral tentu biasa. Menggunakan ds = √([x'(t)]² + [y'(t)]²) dt menghasilkan:

Tentu saja, sebuah kurva dapat diparametrisasi dengan banyak cara berbeda; untungnya, parametrisasi apa pun akan menghasilkan nilai yang sama untuk integralnya.

Definisi integral garis dapat diperluas ke kasus di mana C, meskipun tidak mulus secara keseluruhan, merupakan kurva mulus sepotong-sepotong (piecewise smooth), yaitu terdiri dari beberapa kurva mulus C₁, C₂, ..., Cₖ yang digabungkan bersama. Kita cukup mendefinisikan integral pada C sebagai jumlah dari integral pada masing-masing kurva individu tersebut.

3. Penghitungan Melalui Parameterisasi

Untuk mengevaluasi nilai dari suatu integral garis, kurva geometris C diubah ke dalam bentuk representasi parametrik dengan parameter t (di mana a ≤ t ≤ b).

A. Integral Terhadap Panjang Busur

Semua yang telah kita lakukan dapat diperluas dengan mudah ke kurva mulus C dalam ruang tiga dimensi. Secara khusus, jika C diberikan secara parametrik oleh:

x = x(t),    y = y(t),    z = z(t),    a ≤ t ≤ b

maka:

B. Integral Terhadap Koordinat

C. Kurva Mulus Sepotong-sepotong (Piecewise Smooth)

Jika kurva C tidak mulus secara keseluruhan tetapi terdiri dari beberapa potongan kurva mulus (C₁, C₂, ..., Cₖ) yang digabungkan dari ujung ke ujung, nilai integralnya adalah jumlah dari masing-masing komponen kurva individu:

4. Karakteristik Unik Sifat Orientasi Kurva

Terdapat perbedaan mendasar yang sangat krusial pada perilaku tanda (+ / –) nilai integral garis ketika kita membalik arah penelusuran lintasan (dari arah kurva C menjadi arah berkebalikan –C):

A. Pada Integral Terhadap Panjang Busur

Nilai integral tidak mengalami perubahan tanda karena nilai elemen panjang busur Δsᵢ selalu didefinisikan positif (jarak skalar).

B. Pada Integral Terhadap Koordinat

Nilai integral akan mengalami perubahan tanda karena arah proyeksi Δxₖ ikut berbalik arah menjadi bernilai negatif.

5. Formulasi Vektor dan Usaha

Pertimbangkan integral garis dalam bentuk

di mana P, Q, R adalah fungsi kontinu yang terdefinisi di sepanjang kurva berorientasi tertentu C. Integral semacam itu sering kali terjadi dalam hubungannya dengan fungsi titik vektor, dan sekarang kita akan menunjukkan bagaimana integral itu dapat dinyatakan dalam notasi yang berbeda dengan menggunakan vektor.

Misalkan

F(x, y, z) = Pi + Qj + Rk 

menjadi fungsi vektor yang didefinisikan pada setiap titik C sedemikian rupa sehingga P, Q, R adalah komponen-komponennya dalam sistem koordinat xyz. Misalkan s menyatakan panjang busur di sepanjang C, dengan s = 0 di titik awal C dan s = l di titik akhir. Kita mengasumsikan bahwa C adalah mulus. Maka vektor satuan tangen terhadap C dalam arah positif pada titik yang diberikan adalah

T = (dx/ds)i + (dy/ds)j + (dz/ds)k.

Oleh karena itu, berdasarkan rumus untuk perkalian titik (dot product),

F · T = P (dx/ds) + Q (dy/ds) + R (dz/ds).

Namun, jika kita menggunakan s sebagai parameter di sepanjang C, kita bahwa

dengan rumus serupa yang melibatkan Q dan R. Oleh karena itu, kita melihat bahwa

A. Pendekatan Proyeksi Skalar dan Vektor Tangen

Usaha pada dasarnya adalah "gaya dikali jarak". Jika gaya berbentuk vektor dan tidak sejajar dengan arah lintasan, besar gaya yang melakukan usaha hanyalah komponen gaya yang searah dengan gerakan objek. Komponen ini diperoleh dari proyeksi skalar gaya F pada vektor tangen satuan kurva (T):

Gaya Efektif = F · T 

Komponen gaya yang tegak lurus (normal) terhadap kurva lintasan menghasilkan nilai perkalian titik nol, sehingga tidak memberikan kontribusi usaha sama sekali.

B. Notasi Batas dan Aturan Perkalian Titik

Kita ingin mencari usaha W yang dilakukan oleh F dalam memindahkan sebuah partikel sepanjang kurva berorientasi mulus C.

Misalkan r = xi + yj + zk merupakan vektor posisi untuk titik Q(x, y, z) pada kurva. Jika T adalah vektor singgung satuan di Q, maka F · T adalah komponen tangensial dari F di Q. Usaha yang dilakukan oleh F dalam memindahkan partikel dari Q sejauh Δs sepanjang kurva mendekati F · T Δs, dan akibatnya usaha yang dilakukan dalam memindahkan partikel dari A ke B sepanjang C didefinisikan sebagai

Usaha adalah besaran skalar, tetapi nilainya bisa positif atau negatif. Nilainya positif ketika komponen gaya di sepanjang kurva searah dengan gerakan benda, dan negatif ketika komponen gaya di sepanjang kurva berlawanan arah dengan gerakan benda. Kita mengetahui bahwa T = (dr/dt)(dt/ds) = dr/ds, sehingga kita memiliki rumus alternatif untuk usaha berikut:

Untuk menafsirkan ekspresi terakhir, anggaplah F · dr merepresentasikan usaha yang dilakukan oleh F dalam memindahkan partikel sepanjang vektor singgung "infinitesimal" dr, sebuah formulasi yang lebih disukai oleh banyak fisikawan dan matematikawan terapan.

Masih ada ekspresi lain untuk usaha yang sering kali berguna dalam perhitungan. Jika kita sepakat untuk menulis dr = dx i + dy j + dz k, maka:

F · dr = (Pi + Qj + Rk) · (dx i + dy j + dz k) = P dx + Q dy + R dz

dan:

Integral-integral pada ruas kanan adalah jenis khusus dari integral garis.

C. Hubungan dengan Parameter Waktu (t dan Vektor Kecepatan)

Ingat kembali bahwa dalam kasus paling sederhana, usaha yang dilakukan oleh suatu gaya pada suatu objek sama dengan besar gaya dikalikan dengan jarak perpindahan objek tersebut; ini mengasumsikan bahwa gaya tersebut konstan dan searah dengan arah gerakan.

Komponen dari gaya F dalam arah vektor v adalah:

yang merupakan proyeksi F pada v. Besar gaya dalam arah v adalah proyeksi skalar dari F pada v:

Jika suatu objek bergerak akibat pengaruh gaya (konstan) ini, dalam arah v, sepanjang jarak yang sama dengan panjang v, usaha yang dilakukan adalah:

Jadi, usaha dalam konteks vektor masih berupa "gaya dikali jarak", hanya saja "dikali" di sini berarti "perkalian titik" (dot product).

Jika gaya bervariasi dari satu titik ke titik lain, gaya tersebut direpresentasikan oleh medan vektor F; vektor perpindahan v juga dapat berubah, karena suatu objek mungkin mengikuti lintasan melengkung dalam dua atau tiga dimensi. Misalkan lintasan suatu objek diberikan oleh fungsi vektor r(t); di titik mana pun di sepanjang lintasan tersebut, vektor tangen (kecil) r' Δt memberikan hampiran terhadap gerakannya dalam selang waktu singkat Δt, sehingga usaha yang dilakukan selama waktu tersebut kira-kira adalah F • r' Δt; total usaha selama periode waktu tertentu adalah:

Jika gerakan partikel ditentukan berdasarkan parameter waktu t, kita dapat mengaitkan vektor kecepatan v = (ds/dt)T. Karena T ds = v dt, formula usaha dapat dihitung langsung melalui parameter waktu:

Hal ini memberikan sebuah hubungan penting: Usaha fisik tidak bergantung pada variasi hukum kecepatan gerak partikel, melainkan murni hanya bergantung pada karakteristik medan gaya F dan geometri lintasan kurva C yang dilaluinya.
D. Ketidaksamaan Batas Nilai Integral (Estimation Theorem)

Misalkan ψ adalah sudut antara vektor F dan T, dengan pemahaman bahwa 0 ≤ ψ ≤ π. Karena T memiliki panjang satu satuan dan panjang dari F adalah
√(P² + Q² + R²)

kita tahu bahwa

F · T = √(P² + Q² + R²) cos ψ.

Oleh karena itu

Dari rumus ini kita bisa mendapatkan ketidaksamaan yang berguna mengenai nilai dari integral garis. Misalkan M adalah panjang maksimum dari vektor F. Maka

|√(P² + Q² + R²) cos ψ| ≤ M

di semua titik pada C, sehingga

Contoh Soal

1. Seutas kawat yang terletak pada bidang dan menempati lingkaran (x + 1)² + (y – 6)² = 16.  Rapat massa kawat tersebut di setiap titiknya adalah ρ(x, y) = x²y, tentukan massa kawat tersebut.

Massa kawat tersebut sama dengan luas dinding dengan alasnya lingkaran (x + 1)² + (y – 6)² = 16 dan tinggi temboknya berdasarkan x dan y adalah x²y.
Lingkaran tersebut berpusat di (–1, 6) dengan jari-jari 4 satuan, sehingga dapat diparameterisasi sebagai berikut:

x = 4cos(⁡t) – 1; y = 4sin(⁡t) + 6; 0 ≤ t ≤ 2π

dx = –4sin(⁡t) dt; dy = 4cos(⁡t) dt; ds = √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt = 4 dt

ρ(x(t), y(t)) = [4cos(⁡t) – 1]²[4sin(⁡t) + 6]

Sehingga diperoleh integralnya:

Jika diselesaikan, akan diperoleh hasil integralnya adalah 432π. Jadi, massa kawat tersebut adalah 432π satuan.

2. Sebuah partikel bermassa m bergerak melalui medan gaya F yang dinyatakan oleh:

F(x, y, z) = y²i + 2xyj + xzk 

Partikel tersebut berpindah dari titik (0, 0, 0) ke titik (1, 1, 1) melalui lintasan kurva C yang didefinisikan oleh persamaan parameter:

x = t, y = t², z = t³, dengan 0 ≤ t ≤ 1

Tentukan besar usaha (W) yang dilakukan oleh medan gaya tersebut untuk memindahkan partikel!

Vektor posisi untuk lintasan C adalah:

r(t) = ti + t²j + t³k 

dr/dt = i + 2tj + 3t²k 

F(t) = (t²)²i + 2tt²j + tt³k = t⁴i + 2t³j + t⁴k 

F · dr/dt = t⁴ + 4t⁴ + 3t⁶ = 5t⁴ + 3t⁶

F · dr = (5t⁴ + 3t⁶)dt

Sehingga usahanya adalah

Besar usaha yang dilakukan oleh medan gaya untuk memindahkan partikel sepanjang lintasan adalah 10/7 satuan.