Integral Permukaan / Surface

1. Definisi Intuitif dan Fondasi Geometris

Secara geometris, integral permukaan adalah generalisasi alami dari integral lipat dua. Jika integral lipat dua menghitung besaran pada wilayah datar (bidang-xy), integral permukaan menghitung besaran pada lamina atau permukaan melengkung S di ruang dimensi tiga.

Misalkan permukaan G adalah grafik dari z = f(x, y), dengan (x, y) berada dalam daerah persegi panjang R pada bidang-xy. Misalkan P adalah partisi dari R menjadi n sub-persegi panjang Rᵢ; hal ini menghasilkan partisi yang bersesuaian pada permukaan G menjadi n bagian Gᵢ.

Pilih titik sampel (x̄ᵢ, ȳᵢ) di dalam Rᵢ, dan misalkan (x̄ᵢ, ȳᵢ, z̄ᵢ) = (x̄ᵢ, ȳᵢ, f(x̄ᵢ, ȳᵢ)) menjadi titik yang bersesuaian pada Gᵢ. Kemudian definisikan integral permukaan dari g atas G sebagai:

di mana ΔSᵢ adalah luas dari Gᵢ. Akhirnya, perluas definisi ini untuk kasus di mana R adalah himpunan tertutup dan terbatas yang umum pada bidang-xy dengan cara seperti biasa (yaitu dengan memberikan nilai 0 pada g di luar R).

2. Integral Permukaan Skalar

Untuk menghitung integral permukaan dalam praktik, kita harus mengubah fungsi tiga variabel tersebut menjadi integral lipat dua biasa di atas wilayah datar tertentu.

A. Permukaan Eksplisit

Sebuah definisi saja tidak cukup; kita memerlukan cara praktis untuk menghitung integral permukaan. Di bawah hipotesis yang sesuai, luas dari sepotong kecil Gᵢ dari permukaan tersebut mendekati ‖uᵢ × vᵢ‖, di mana uᵢ dan vᵢ adalah sisi-sisi jajaran genjang yang menyinggung permukaan tersebut. Oleh karena itu,

A(Gᵢ) ≈ ‖uᵢ × vᵢ‖ ≈ √[(f_x(xᵢ, yᵢ))² + (f_y(xᵢ, yᵢ))² + 1] Δyᵢ Δxᵢ

Bentuk alternatifnya A(Gᵢ) ≈ sec(γ) Δxᵢ Δyᵢ, di mana γ adalah sudut lancip antara garis normal permukaan dengan sumbu-z positif. Faktor sec(γ) bertindak sebagai pembobot yang mengompensasi distorsi luas saat permukaan melengkung diproyeksikan menjadi datar.

Hal ini mengarah pada rumus berikut.

Misalkan G adalah permukaan yang diberikan oleh z = f(x, y), dengan (x, y) berada di dalam R. Jika f memiliki turunan parsial pertama yang kontinu dan g(x, y, z) = g(x, y, f(x, y)) kontinu pada R, maka:

Kedua pendekatan ini identik, dimana untuk

Pendekatan vektor dS = √(f_x² + f_y² + 1) dy dx

Pendekatan geometri sudut dS = sec(γ) dx dy

dimana sec(γ) = √(f_x² + f_y² + 1).

B. Permukaan Terparameterisasi

Secara umum, pemetaan dari persegi panjang R ke permukaan G, domainnya tidak harus berupa persegi panjang, tetapi untuk menyederhanakan penurunan rumus, kita asumsikan domainnya berbentuk persegi panjang. Jika kita mempartisi persegi panjang R, kita melihat bahwa Rᵢ, yaitu persegi panjang ke-i, terpetakan menjadi potongan melengkung Gᵢ, dan sisi-sisi persegi panjang dalam partisi R terpetakan menjadi bagian melengkung dari permukaan tersebut. Namun, jika Δuᵢ dan Δvᵢ bernilai kecil, potongan tersebut akan sangat menyerupai jajargenjang yang memiliki sisi-sisi berupa vektor Δuᵢrᵤ(uᵢ, vᵢ) dan Δvᵢrᵥ(uᵢ, vᵢ), di mana (uᵢ, vᵢ) adalah sudut kiri bawah dari persegi panjang ke-i, serta rᵤ dan rᵥ masing-masing menyatakan turunan parsial ∂r/∂u dan ∂r/∂v.

Luas permukaan dari potongan Gᵢ mendekati:

ΔSᵢ ≈ ‖(Δuᵢrᵤ(uᵢ, vᵢ)) × (Δvᵢrᵥ(uᵢ, vᵢ))‖ = ‖rᵤ(uᵢ, vᵢ) × rᵥ(uᵢ, vᵢ)‖ Δuᵢ Δvᵢ

Oleh karena itu, luas permukaan dari permukaan terparameterisasi adalah:

Diferensial dari luas permukaan adalah:

dS = ‖rᵤ(u, v) × rᵥ(u, v)‖ dA

Maka, integral permukaan untuk permukaan terparameterisasi adalah:

3. Fluks Medan Vektor Melalui Permukaan

Fluks adalah volume total medan vektor F (seperti kecepatan fluida atau medan magnet) yang menembus permukaan per satuan waktu.

Kita perlu membatasi lebih lanjut jenis-jenis permukaan yang kita pertimbangkan. Kebanyakan permukaan yang muncul dalam praktik memiliki dua sisi. Namun, sangat mudah untuk membuat permukaan yang hanya memiliki satu sisi.

Ambil selembar pita kertas, potong pada garis putus-putus, puntir salah satu ujungnya setengah putaran, lalu rekatkan kembali.

Akan didapatkan permukaan satu sisi yang disebut pita Möbius. Integral fluks hanya bermakna jika permukaan memiliki dua sisi yang jelas (dapat diorientasikan). Permukaan satu sisi seperti Pita Möbius (yang dibuat dengan memuntir pita kertas setengah putaran dan merekatkannya) tidak dapat dihitung fluksnya karena arah vektor normal satuan n tidak bisa didefinisikan secara konsisten tanpa ada lompatan arah yang berlawanan di titik yang sangat dekat.

Mulai sekarang, kita hanya mempertimbangkan permukaan dua sisi, sehingga masuk akal untuk berbicara tentang fluida yang mengalir melalui permukaan dari satu sisi ke sisi lain seolah-olah permukaan tersebut adalah sebuah layar/sekat. Kita juga mengandaikan bahwa permukaan tersebut mulus (smooth), yang berarti permukaan tersebut memiliki vektor normal satuan n yang bervariasi secara kontinu. Misalkan G adalah permukaan dua sisi yang mulus, dan asumsikan permukaan tersebut terendam dalam fluida dengan medan kecepatan kontinu F(x, y, z).

Jika ΔS adalah luas dari potongan kecil G, maka F hampir konstan di sana, dan volume ΔV fluida yang melewati potongan ini dalam arah vektor normal satuan n adalah:

ΔV ≈ F · n ΔS

Kita menyimpulkan bahwa fluks dari F yang melewati G adalah:

4. Rumus Praktis Menghitung Fluks

Sama seperti kasus skalar, perhitungan fluks dalam praktiknya disederhanakan menjadi integral lipat dua biasa.

A. Rumus untuk Permukaan Eksplisit

Misalkan G adalah permukaan dua sisi yang mulus yang diberikan oleh z = f(x, y), dengan (x, y) berada di dalam R, dan misalkan n menyatakan vektor normal satuan ke arah atas pada G. Jika f memiliki turunan parsial pertama yang kontinu dan F = Mi + Nj + Pk adalah medan vektor kontinu, maka fluks dari F yang melewati G diberikan oleh:

B. Rumus untuk Permukaan Terparameterisasi

Dengan asumsi bahwa besaran-besaran yang terlibat berperilaku baik, fluks dari medan vektor yang melintasi permukaan r(u, v) adalah

Catatan Arah Penting: Jika hasil perkalian silang rᵤ × rᵥ ternyata menunjuk ke arah yang berlawanan dengan konvensi yang diminta (misalnya menunjuk ke dalam padahal diminta ke luar), kita cukup membalik urutan perkalian silangnya menjadi rᵤ × rᵥ atau mengalikan hasilnya dengan –1.

Contoh Soal

1. Tentukan hasil integral permukaan

di mana S adalah bagian dari permukaan paraboloid z = 4 – x² – y² yang berada di atas bidang XOY.

Permukaan berada di atas bidang XOY, maka batas bawahnya adalah saat z = 0:

4 – x² – y² = 0 ⇔ x² + y² = 4

Jadi, daerah proyeksi R pada bidang XOY adalah sebuah piringan lingkaran dengan jari-jari r = 2.

Persamaan permukaannya adalah f(x, y) = 4 – x² – y², turunan-turunan parsial pertamanya adalah

∂f/∂x = –2x, ∂f/∂y = –2y

diperoleh integralnya menjadi

Bentuk ini lebih mudah jika diubah ke koordinat polar

R = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π}, integralnya menjadi

Jika diselesaikan, diperoleh hasil integralnya

Jadi, hasil integral permukaannya adalah 42,231757 satuan.

2. Hitunglah fluks dari medan vektor F(x, y, z) = yi – xj + 2zk yang melewati permukaan melengkung G yang didefinisikan oleh persamaan z² = 1 + x² + y² diatas bidang XOY, dengan daerah R pada bidang XOY berupa lingkaran x² + y² ≤ 3, dengan arah vektor normal satuan n ke arah atas.

Persamaan permukaan z² = 1 + x² + y² diatas bidang XOY, diperoleh f(x, y) = √(1 + x² + y²).

Dari fungsi F(x, y, z), kita miliki M = y, N = –x, P = 2z = 2√(1 + x² + y²)

∂f/∂x = x/√(1 + x² + y²), ∂f/∂y = y/√(1 + x² + y²)

–Mf_x – Nf_y + P = –xy/√(1 + x² + y²) + xy/√(1 + x² + y²) + 2√(1 + x² + y²) = 2√(1 + x² + y²)

Karena daerah R adalah lingkaran x² + y² ≤ 3, kita lakukan transformasi ke koordinat polar:

Batas untuk r: 0 ≤ r ≤ √3

Batas untuk θ: 0 ≤ θ ≤ 2π

Maka integralnya menjadi:

Jika dihitung, akan diperoleh hasil integralnya adalah 28π/3 ≈ 29,32153.

Jadi, fluks medan vektor F yang melewati permukaan tersebut adalah 28π/3 ≈ 29,32153 satuan.