Permukaan, Representasi, dan Luasnya (Kalvek)

1. Representasi Permukaan

Secara intuitif, permukaan adalah konfigurasi titik-titik di ruang tiga dimensi yang memiliki karakter dua dimensi (memiliki dua derajat kebebasan). Karakteristik permukaan dapat dianalisis dari dua sudut pandang:

• Sifat Lokal (Local Property): Sifat yang dapat dijelaskan sepenuhnya hanya dengan melihat area di sekitar titik tertentu, seperti keberadaan bidang singgung.

Sifat memiliki bidang singgung pada titik tertentu adalah sifat lokal. Suatu permukaan mungkin memiliki sifat ini di beberapa titik tetapi tidak di titik lainnya.

• Sifat Global (Property in the Large): Karakteristik permukaan secara keseluruhan, seperti apakah permukaan tersebut bersifat tertutup (contoh: bola dan torus) atau terbuka (contoh: cakram).

Menjadi permukaan tertutup adalah sifat global (permukaan bola adalah tertutup, sedangkan cakram melingkar tidak).

Secara analitis, terdapat beberapa metode utama untuk merepresentasikan suatu permukaan:

A. Bentuk Eksplisit dan Implisit

• Bentuk Eksplisit:

z = f(x, y), di mana f adalah fungsi kontinu bernilai tunggal pada wilayah terhubung R di bidang xy. Dalam bentuk vektor, ini ditulis sebagai r(x, y) = ⟨x, y, f(x, y)⟩.

• Bentuk Implisit:

F(x, y, z) = 0.

B. Bentuk Parametrik (Fungsi Vektor Dua Variabel)

Representasi parametrik memetakan wilayah R pada bidang dua dimensi (uv atau θφ) ke ruang tiga dimensi xyz. Pendekatan ini ditulis secara analitis maupun vektor sebagai:

x = f(u, v);    y = g(u, v);    z = h(u, v)

r(u, v) = ⟨x(u, v), y(u, v), z(u, v)⟩ 

Untuk menghindari anomali geometri (seperti permukaan memotong dirinya sendiri secara tak terbatas), diperkenalkan konsep Elemen Permukaan Sederhana (Simple Surface Element), yaitu pemetaan kontinu satu-satu dari wilayah persegi panjang tertutup di bidang parameter ke ruang xyz. Secara intuitif, ini adalah deformasi kontinu (penekukan atau peregangan) dari bidang datar tanpa adanya perobekan.

Sebuah elemen permukaan sederhana dapat dibayangkan sebagai konfigurasi apa pun yang dapat diperoleh dari wilayah bidang persegi panjang melalui deformasi kontinu (pembengkokan, pemuntiran, peregangan, penyusutan) tanpa robek dan tanpa menyatukan titik-titik yang awalnya berbeda. Secara khusus, wilayah melingkar datar adalah elemen permukaan sederhana; begitu pula dengan permukaan hemisfer (setengah bola).

Jika S adalah elemen permukaan sederhana yang bersesuaian dengan wilayah persegi panjang R pada bidang-uv, titik-titik S yang bersesuaian dengan batas R membentuk apa yang disebut sebagai batas dari S. Titik-titik lain dari S disebut titik interior dari elemen permukaan tersebut.

Jumlah elemen permukaan yang tak berhingga akan diperlukan untuk membentuk permukaan dengan cakupan tak terbatas, seperti paraboloid atau tabung utuh, tetapi dalam mempertimbangkan permukaan di bagian ruang yang terbatas, kita akan berasumsi bahwa permukaan tersebut dapat dibentuk dari sejumlah berhingga elemen permukaan sederhana. Cara tepat dalam menarik kurva yang membagi permukaan menjadi elemen-elemen tidaklah unik; kurva-kurva tersebut selalu dapat dipilih sedemikian rupa untuk menghindari lingkungan dari titik tertentu mana pun. Jadi, dalam mempelajari sifat lokal dari suatu permukaan, kita selalu dapat berasumsi bahwa kita sedang berurusan dengan titik interior dari sebuah elemen permukaan tunggal.

Batas dari suatu permukaan terdiri dari tepi-tepi elemen permukaannya yang tidak berpasangan. Jika tidak ada tepi yang tidak berpasangan, maka tidak ada batas. Sebuah permukaan yang tidak memiliki batas, dan terletak di bagian ruang yang terbatas, disebut permukaan tertutup. Sebagai contoh, permukaan bola adalah tertutup, tetapi permukaan tabung tidak tertutup.

2. Permukaan Mulus dan Arah Normal

Sebuah permukaan disebut mulus (smooth) pada titik P jika ia memiliki bidang singgung di setiap titik dalam lingkungan P, dan jika arah normal terhadap bidang ini bervariasi secara kontinu dari titik ke titik. Seluruh permukaan disebut mulus jika ia mulus di setiap titik.

Permukaan yang direpresentasikan eksplisit adalah mulus jika f memiliki turunan parsial pertama yang kontinu. Arah normal dalam kasus ini ditentukan oleh rasio:

∂f/∂x : ∂f/∂y : –1

Dalam representasi implisit, permukaan tersebut mulus di suatu titik di mana ketiga turunan parsial ∂F/∂x, ∂F/dy, ∂F/∂z tidak semuanya nol, asalkan turunan-turunan tersebut kontinu di lingkungan titik tersebut. Arah normal ditentukan oleh rasio:

F₁ : F₂ : F₃

Dalam kasus parametrik, mari kita misalkan bahwa fungsi f, g, h memiliki turunan parsial pertama yang kontinu. Kita perkenalkan notasi Jacobian:

j₁ = ∂(y, z)/∂(u, v), j₂ = ∂(z, x)/∂(u, v), j₃ = ∂(x, y)/∂(u, v)

Kita berasumsi bahwa ketiga Jacobian ini tidak lenyap secara bersamaan. Di bawah kondisi ini, kita dapat menunjukkan bahwa permukaan tersebut mulus, dan bahwa arah normal diberikan oleh rasio:

j₁ : j₂ : j₃

Setelah arah normal diketahui, tentu saja merupakan hal yang mudah untuk menuliskan persamaan bidang singgung.

3. Kurva Pada Permukaan

Misalkan diberikan representasi parametrik dari permukaan, dan bahwa fungsi f, g, h memiliki turunan parsial pertama yang kontinu.

Jika u dan v dibuat bergantung secara kontinu pada suatu parameter t, maka x, y, z akan menjadi fungsi kontinu dari t, dan kita akan memperoleh sebuah kurva yang terdefinisi pada permukaan tersebut. Jika kita misalkan u dan v adalah fungsi yang dapat diturunkan secara kontinu terhadap t, maka setiap busur dari kurva tersebut akan dapat direktifikasi (panjangnya dapat dihitung). Kita ingin memperoleh rumus untuk diferensial panjang busur dalam bentuk u, v, du, dan dv. Apa pun parameternya, kita memiliki rumus-rumus berikut:

ds² = dx² + dy² + dz²

dx = (∂x/∂u) du + (∂x/∂v) dv, dan rumus serupa untuk dy dan dz. Oleh karena itu,

ds² = [(∂x/∂u) du + (∂x/∂v) dv]², Setelah menjabarkan rinciannya, kita mendapatkan hasil:

ds² = E du² + 2F du dv + G dv²

dengan

E = (∂x/∂u)² + (∂y/∂u)² + (∂z/∂u)² = rᵤ · rᵤ

F = (∂x/∂u)(∂x/∂v) + (∂y/∂u)(∂y/∂v) + (∂z/∂u)(∂z/∂v) = rᵤ · rᵥ

G = (∂x/∂v)² + (∂y/∂v)² + (∂z/∂v)² = rᵥ · rᵥ

dimana rᵤ = ⟨∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u⟩ dan rᵥ = ⟨∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v⟩.

Persamaan tersebut merupakan bentuk kuadrat dalam du dan dv, dengan koefisien-koefisien yang merupakan fungsi dari u, v; koefisien-koefisien ini dapat ditemukan secara langsung dari persamaan parametrik permukaan. Bentuk kuadrat ini disebut bentuk fundamental pertama (first fundamental form) dari permukaan. Bentuk ini memiliki arti yang sangat penting dalam apa yang disebut geometri diferensial metrik dari permukaan.

Sebagai contoh, misal didefinisikan suatu permukaan torus dengan persamaan parametrik:

x = (a + b cos ϕ) cos θ

y = (a + b cos ϕ) sin θ

z = b sin ϕ

dengan 0 < b < a, serta θ dan ϕ memiliki jangkauan 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, mendefinisikan sebuah torus. Bagian dari permukaan torus pada oktan pertama ditunjukkan pada gambar berikut:

Bagian ini merupakan elemen permukaan sederhana, yang bersesuaian dengan jangkauan 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ ϕ ≤ π dari parameter θ dan ϕ.

Seluruh torus adalah permukaan tertutup, yang dapat dibagi menjadi empat elemen permukaan sederhana, bersesuaian dengan empat persegi pada bidang-θϕ.

Mari kita hitung bentuk fundamental pertama untuk torus tersebut. Di sini θ dan ϕ memainkan peran sebagai u dan v. Kita mempunyai:

dx = –(a + b cos ϕ) sin θ dθ – b sin ϕ cos θ dϕ

dy = (a + b cos ϕ) cos θ dθ – b sin ϕ sin θ dϕ

dz = b cos ϕ dϕ

Oleh karena itu, kita memperoleh:

ds² = (a + b cos ϕ)²(sin² θ + cos² θ) dθ² + b² sin² ϕ (sin² θ + cos² θ) dϕ² + b² cos² ϕ dϕ²

ds² = (a + b cos ϕ)² dθ² + b² dϕ²

Perhatikan bahwa tidak ada suku yang melibatkan dθ dϕ.

A. Kurva Koordinat dan Sifat Ortogonal

Ketika suatu permukaan didefinisikan dalam bentuk parameter u, v, kurva u = konstanta dan v = konstanta disebut kurva koordinat (co-ordinate curves).

• Di sepanjang kurva v = konstanta (disebut kurva-v), kita dapat menganggap u sebagai parameter dari kurva tersebut. Arah garis singgung terhadap kurva ini diberikan oleh rasio:

∂x/∂u : ∂y/∂u : ∂z/∂u

vektor tangennya rᵤ = ⟨∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u⟩.

• Demikian pula, arah garis singgung terhadap kurva-u (u = konstanta) adalah:

∂x/∂v : ∂y/∂v : ∂z/∂v

vektor tangennya rᵥ = ⟨∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v⟩.

Dalam kalkulus vektor, arah normal ini tidak lain adalah arah dari hasil perkalian silang dua vektor tangen kurva koordinat:

n = rᵤ × rᵥ

Permukaan parametrik mulus ketika ketiga Jacobian atau vektor hasil kali silang rᵤ × rᵥ tidak bernilai nol secara bersamaan.

Jika kedua himpunan kurva tersebut berpotongan secara ortogonal (tegak lurus) di setiap titik, kita melihat bahwa F ≡ 0. Dalam kasus ini, bentuk fundamental pertama menjadi:

ds² = E du² + G dv²

dan tidak ada suku du dv yang muncul. Di sepanjang kurva-v, ds = ±√E du, dan di sepanjang kurva-u, ds = ±√G dv. Oleh karena itu, jika melalui pengamatan geometris langsung kita dapat menentukan nilai ds/du di sepanjang kurva-v, kita dapat menemukan E tanpa harus bersusah payah menghitung. Hal serupa juga berlaku untuk G. Dalam kasus beberapa permukaan yang sudah kita kenal, jalan pintas ini sangatlah praktis.

Jalan pintas ini tersedia dalam kasus torus pada contoh di atas. Pada contoh tersebut, kurva-ϕ merupakan lingkaran-lingkaran pada bidang horizontal dengan pusat pada sumbu-z. Jari-jari dari lingkaran-ϕ adalah a + b cos ϕ, sehingga ds = ±(a + b cos ϕ) dθ di sepanjang lingkaran tersebut. Koefisien dari dθ² dalam rumus umum untuk ds² oleh karena itu adalah (a + b cos ϕ)². Pembahasan mengenai kurva-θ diserahkan kepada Sixtyfourians. Pada contoh ini, kurva-kurva koordinat saling berpotongan tegak lurus. Hal ini menjelaskan mengapa tidak ada suku dθ dϕ dalam bentuk kuadrat tersebut.

Dari arah garis singgung pada kurva koordinat, kita dapat menentukan arah garis tegak lurus sekutu (common perpendicular) keduanya, yang merupakan garis normal terhadap permukaan. Penggunaan skema biasa dari tiga determinan dua baris menunjukkan kepada kita bahwa arah normalnya adalah j₁ : j₂ : j₃. Dengan demikian, kita memperoleh hasil dengan cara yang berbeda.

B. Notasi Indeks

Untuk tujuan tertentu, sangatlah praktis menggunakan himpunan variabel dengan indeks. Sebagai contoh, kita dapat menulis x₁, x₂, x₃ alih-alih x, y, z, dan u₁, u₂ alih-alih u, v. Jika ini dilakukan, rumus untuk E, F, G dapat ditulis secara ringkas dalam notasi penjumlahan; contohnya:

Rumus untuk ds² dapat ditulis sebagai:

Dalam praktiknya, notasi indeks biasanya digunakan ketika metode tensor diterapkan. Konvensi notasi tensor memerlukan penggunaan dua jenis indeks, yaitu indeks atas (upper) dan bawah (lower). Untuk kasus saat ini, konvensi tersebut memerlukan notasi x¹, x², x³, u¹, u². Indeks atas di sini bukanlah eksponen, melainkan hanya tanda pembeda.

Koefisien-koefisien dalam rumus untuk ds² sekarang dinyatakan oleh g₁₁, g₁₂, g₂₁, g₂₂; dengan g₁₁ menjadi koefisien dari du¹ du¹; g₁₂ menjadi koefisien dari du¹ du²; dan seterusnya. Jadi:

dengan:

Perhatikan bahwa g₁₂ = g₂₁. Dalam notasi kita sebelumnya, g₁₁ = E, g₁₂ = F, g₂₂ = G. Keempat kuantitas g₁₁, g₁₂, g₂₁, g₂₂ merupakan komponen dari apa yang disebut sebagai tensor metrik fundamental (fundamental metric tensor) dari permukaan.

4. Luas Permukaan

Pertimbangkan sebuah elemen permukaan sederhana, seperti yang diberikan oleh persamaan parametrik, dengan parameter (u, v) yang mewakili sebuah titik yang bervariasi di atas persegi panjang R : a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d pada bidang uv. Misalkan bahwa persegi panjang ini dibagi-bagi menjadi sel-sel kecil oleh suatu partisi persegi panjang seperti cara yang digunakan dalam mendefinisikan integral lipat dua. Kita akan menganggap bahwa fungsi f, g, h yang masuk dalam representasi parametrik memiliki turunan parsial pertama yang kontinu di wilayah tertutup R. Kita akan menggunakan notasi vektor dalam pembahasan selanjutnya. Kita memikirkannya sebagai pemetaan vektor dari persegi panjang R ke dalam ℝ³:

F(u, v) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v)).

Kita tahu bahwa F dapat diturunkan secara kontinu karena kita telah mengasumsikan bahwa fungsi koordinat f, g, h memiliki turunan parsial pertama yang kontinu. Pertimbangkan sebuah sel tipikal di bagian dalam R dan sel yang bersesuaian pada elemen permukaan.

Pertama-termata kita berusaha mencari ekspresi perkiraan untuk luas sel kecil dari elemen permukaan ini. Ide panduannya adalah menganggap sel pada elemen permukaan yang melengkung tersebut mendekati sebuah jajaran genjang datar. Bidang dari jajaran genjang ini adalah bidang yang menyinggung elemen permukaan di salah satu sudut sel yang sedang dipertimbangkan. Jajaran genjang itu sendiri adalah bangun yang menjadi hasil pemetaan sel di R oleh suatu transformasi afin tertentu yang kita peroleh dengan menggunakan diferensial dari F. Untuk menjelaskan hal ini secara lebih jelas, sekarang kita harus memperkenalkan beberapa notasi tambahan.

Kita menetapkan sudut kiri bawah A dari sel tipikal di R sebagai (uᵢ, vⱼ). Nyatakan sudut-sudut lainnya dengan B, C, D seperti yang ditunjukkan, sehingga B adalah (uᵢ + Δu, vⱼ) dan C adalah (uᵢ, vⱼ + Δv). Sel A'B'C'D' pada elemen permukaan, yang merupakan citra (bayangan) dari sel ABCD di bawah fungsi pemetaan F. Secara khusus, A' adalah vektor F(uᵢ, vⱼ).

Untuk menemukan titik di dalam sel ABCD, kita menuliskan koordinatnya sebagai (uᵢ + δu, vⱼ + δv), di mana 0 ≤ δu ≤ Δu, 0 ≤ δv ≤ Δv. Sekarang pertimbangkan pemetaan afin dari bidang uv ke dalam ℝ³ yang membawa (uᵢ + δu, vⱼ + δv) menjadi

F(uᵢ, vⱼ) + F'(uᵢ, vⱼ)(δu, δv).

Di sini turunan F'(uᵢ, vⱼ), seperti yang kita ketahui, diwakili oleh matriks 3 × 2

di mana turunan parsialnya dievaluasi pada (uᵢ, vⱼ). Matriks ini mentransformasikan vektor (δu, δv) menjadi vektor

F'(uᵢ, vⱼ)(δu, δv) = ((∂f/∂u)δu + (∂f/∂v)δv, (∂g/∂u)δu + (∂g/∂v)δv, (∂h/∂u)δu + (∂h/∂v)δv).

Pemetaan afin F(uᵢ, vⱼ) + F'(uᵢ, vⱼ)(δu, δv) memetakan bagian dari bidang uv di dekat A ke dalam bagian dari bidang yang menyinggung di A' pada elemen permukaan di ℝ³, dan memetakan persegi panjang ABCD menjadi sebuah jajaran genjang di bidang singgung, dengan AB dipetakan menjadi A'B'', AC dipetakan menjadi A'C'', dan seterusnya. (Garis dipetakan menjadi garis karena pemetaannya bersifat afin.) Bahwa persegi panjang ABCD dipetakan menjadi sepotong bidang singgung adalah karena sifat dasar dari diferensial F'(uᵢ, vⱼ)(δu, δv), yang merupakan perkiraan untuk selisih F(uᵢ + δu, vⱼ + δv) – F(uᵢ, vⱼ).

Kita akan membutuhkan hubungan berikut:

Hubungan pertama diperoleh dari fakta bahwa, ketika δu = Δu dan δv = 0, kita mendapatkan citra pemetaan afin dari B, yaitu B'' sedangkan citra pemetaan afin dari A adalah A'. Oleh karena itu selisih vektornya adalah A'B''. Hubungan lainnya didapatkan dengan cara yang serupa. Oleh karena itu kita memiliki,

Sekarang, luas jajaran genjang A'B''C''D'' sama dengan magnitudo (panjang) dari perkalian silang (cross product) vektor A'B'' dan A'C''. Perkalian silang ini adalah,

atau, dalam notasi alternatif
A'B'' × A'C'' = j₁ Δu Δv i + j₂ Δu Δv j + j₃ Δu Δv k,

sehingga luas jajar genjang A'B''C''D'' adalah

Di sini Jacobian j₁, j₂, j₃ dievaluasi pada (uᵢ, vⱼ).
Langkah selanjutnya dalam proses ini adalah membentuk jumlah dari semua suku, yang bersesuaian dengan semua sel yang membagi R. Ketika kita membentuk jumlah ini dan kemudian mencari batasnya saat partisi R diperhalus, kita memperoleh integral lipat dua sebagai batasnya. Integral lipat dua ini adalah

Rumus ini dapat diberikan bentuk tampilan lain, menggunakan koefisien E, F, G dari bentuk kuadrat yang menyatakan ds pada permukaan dalam bentuk du dan dv. Ekspresi alternatif untuk integral lipat dua tersebut adalah

Dalam bentuk hasil kali silang rᵤ × rᵥ:

Dalam mengerjakan soal-soal, terkadang akan ditemukan bahwa menghitung j₁² + j₂² + j₃² lebih mudah daripada EG – F², dan begitu pula sebaliknya.

Contoh Soal

1. Hitunglah luas permukaan dari bagian paraboloid z = 9 – x² – y² yang berada di atas bidang XOY

Paraboloid ini memotong bidang XOY pada lingkaran 9 – x² – y² = 0 ⇔ x² + y² = 9. Lingkaran ini berpusat di O dan berjari-jari 3, dalam koordinat polar batasannya adalah
0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π

Diberikan fungsi z = f(x, y) = 9 – x² – y², turunan-turunan parsial pertamanya adalah

∂f/∂x = –2x, ∂f/∂y = –2y

Misal u = 4r² + 1, du = 8r dr, ⅛du = r dr
r = 0 ⇒ u = 1, r = 3 ⇒ u = 37

Jadi, luasnya adalah ⅙π(37√37 – 1) ≈ 117,3 satuan luas.

2. Sebuah permukaan berbentuk helikoid (tangga spiral) didefinisikan oleh persamaan vektor parametrik berikut:

F(u, v) = (u cos v, u sin v, v)

Hitunglah luas permukaan dari helikoid tersebut jika parameter u dan v dibatasi oleh wilayah persegi panjang R pada bidang uv dengan batas:

0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π

Komponen dari F(u, v) adalah:

f(u, v) = u cos v;    g(u, v) = u sin v;    h(u, v) = v

Turunan parsial terhadap u:

∂f/∂u = cos v;    ∂g/∂u = sin v;    ∂h/∂u = 0

Turunan parsial terhadap v:

∂f/∂v = –u sin v;    ∂g/∂v = u cos v;    ∂h/∂v = 1

Diperoleh rᵤ = ⟨∂f/∂u, ∂g/∂u, ∂h/∂u⟩ = ⟨cos v, sin v, 0⟩.

rᵥ = ⟨∂f/∂v, ∂g/∂v, ∂h/∂v⟩ = ⟨–u sin v, u cos v, 1⟩.

Hasil kali silangnya rᵤ × rᵥ adalah:

= sin⁡ 𝑣 𝒊 − cos ⁡𝑣 𝒋 + 𝑢𝒌

normnya adalah √(1 + u²)

Misal u = tan(t); t = tan⁻¹(u); du = sec²(t) dt
u = 0 ⇒ t = 0, u = 1 ⇒ t = π/4

Jadi, luas permukaan helikoid tersebut adalah ½π[√2 + ln(1 + √2)] ≈ 3,6059 satuan luas.