Teorema Divergensi Gauss

1. Perluasan dari 2D ke 3D

Teorema Divergensi Gauss merupakan perluasan langsung dari Teorema Green pada bidang ke ruang tiga dimensi (ℝ³). Teorema ini menghubungkan total perilaku medan di dalam suatu volume dengan aliran yang menembus batas permukaannya.

A. Formulasi Vektor

Salah satu bentuk Teorema Green dapat dituliskan sebagai:

Ini menyatakan bahwa fluks F yang melintasi batas ∂S dari suatu wilayah bidang tertutup dan terbatas S adalah sama dengan integral lipat dua dari div F pada wilayah tersebut. Teorema Gauss (juga disebut Teorema Divergensi) menaikkan hasil ini satu dimensi lebih tinggi.

Misalkan S adalah benda padat tertutup dan terbatas di ruang tiga dimensi yang seluruhnya dilingkupi oleh permukaan mulus sepotong-sepotong ∂S.

Misalkan F = Pi + Qj + Rk adalah medan vektor sedemikian rupa sehingga P, Q, dan R memiliki turunan parsial tingkat pertama yang kontinu pada benda padat S dengan batas ∂S. Jika n menyatakan vektor normal satuan luar terhadap ∂S, maka:

Dengan kata lain, fluks F yang melintasi batas suatu wilayah tertutup di ruang tiga dimensi adalah integral lipat tiga dari divergensinya pada wilayah tersebut.

B. Formulasi Skalar

Kita menyatakan kesimpulan Teorema Gauss dalam bentuk Kartesius (non-vektor). Kita dapat menuliskan:

n = cos(α)i + cos(β)j + cos(γ)k 

di mana α, β, dan γ adalah sudut-sudut arah untuk n. Dengan demikian:

F · n = P cos α + Q cos β + R cos γ

sehingga rumus Gauss menjadi:

Makna Fisis Geometris: Total akumuasi divergensi (sumber/penyerap) di seluruh bagian dalam volume S persis sama dengan net aliran (fluks) medan vektor F yang menembus kulit luar ∂S.

2. Hierarki Geometris

A. Daerah Sederhana XY

Suatu daerah T disebut sederhana-xy jika dibatasi di bawah oleh z = Z₁(x, y), di atas oleh z = Z₂(x, y) untuk (x, y) ∈ G, dan di samping oleh dinding silinder tegak.

Misalkan T adalah daerah sederhana-xy, dan misalkan S adalah seluruh permukaan T. Misalkan bahwa F(x, y, z) dan ∂F/∂z kontinu pada T. Misalkan γ adalah sudut antara sumbu-z positif dan garis normal luar terhadap S. Maka:

Jelas bahwa jika T adalah sederhana-yz, kita memperoleh hasil yang analog dengan ∂F/∂x sebagai pengganti ∂F/∂z, dan cos α sebagai pengganti cos γ; hasil yang serupa juga berlaku untuk daerah sederhana-zx. Hasilnya hanya berbeda notasi, dan penamaan sumbu-sumbu murni merupakan masalah notasi.

B. Daerah Sederhana XYZ

Sekarang andaikan bahwa T adalah daerah yang sekaligus sederhana-xy, sederhana-yz, dan sederhana-zx, dan misalkan S adalah permukaannya. Andaikan bahwa P, Q, R adalah fungsi-fungsi yang kontinu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada T. Pada titik di mana S mulus, misalkan n adalah vektor satuan normal terhadap S yang mengarah ke luar dari T, dan misalkan n membentuk sudut α, β, γ berturut-turut terhadap sumbu-x, y, dan z positif. Maka:

Dengan menjumlahkannya, kita memperoleh teorema divergensi untuk daerah T dari jenis yang terbatas ini.

Sebutlah suatu daerah sederhana-xyz (xyz-simple) jika daerah tersebut sekaligus sederhana-xy, sederhana-yz, dan sederhana-zx. Daerah di antara dua bola sepusat (misalnya berpusat di O) bukanlah sederhana-xyz. Namun, ketiga bidang koordinat membagi daerah ini menjadi delapan bagian, yang masing-masing merupakan sederhana-xyz. Dalam proses pembagian ini, permukaan tambahan tertentu diperkenalkan sebagai "pembatas dalam" (interior partitions) pada T. Setiap elemen permukaan dari pembatas dalam tersebut berada pada batas dua subdaerah sederhana-xyz. Kita katakan bahwa suatu daerah T adalah standar-xyz (xyz-standard) jika, melalui pengenalan sejumlah terhingga elemen permukaan sederhana sebagai pembatas dalam, kita dapat membagi T menjadi sejumlah terhingga subdaerah sederhana-xyz.

C. Daerah Standar XYZ dan Daerah Berlubang

Untuk daerah kompleks (seperti cangkang bola, torus, atau benda berlubang seperti keju Swiss), daerah T dibagi menjadi k subdaerah sederhana-xyz menggunakan sekat pembatas dalam (interior partitions). Ketika integral permukaan dihitung pada seluruh subdaerah:

• Setiap sekat pembatas dalam memiliki dua vektor normal satuan yang berlawanan arah (n₁ = –n₂).

• Nilai integral pada sekat dalam saling menghapuskan (nol).

• Nilai yang tersisa hanyalah integral pada permukaan batas yang sebenarnya (permukaan luar dan permukaan dalam).

3. Identitas Green

Identitas Green memainkan peranan penting dalam kaitannya dengan banyak persamaan diferensial parsial dalam matematika terapan.

A. Identitas Pertama Green

Identitas pertama adalah

di mana kita menggunakan notasi

Δv = ∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² + ∂²v/∂z².

Bentuk ekspresi Δv disebut sebagai Laplacian dari v. Dalam integral permukaan, ∂/∂n mengacu pada turunan berarah dalam arah n, yaitu vektor normal luar terhadap S. Diasumsikan bahwa T adalah daerah yang berlaku untuk teorema divergensi, serta u dan v bersama dengan turunan pertama dari u dan turunan pertama & kedua dari v adalah kontinu di T.

Jika v adalah fungsi skalar, dan ∇v adalah gradien dari v, kita ingat kembali bahwa komponen dari ∇v pada sembarang arah tertentu adalah turunan berarah dari v pada arah tersebut. Oleh karena itu, pada suatu titik di S

∇v · n = ∂v/∂n.

Demikian pula, kita amati bahwa divergensi dari ∇v adalah Laplacian dari v:

∇ · (∇v) = Δv.

Karena ∇ · (∇v) secara konvensional ditulis sebagai ∇²v, notasi yang terakhir ini sering digunakan untuk menggantikan Δv sebagai Laplacian dari v. Kita sekarang dapat menuliskan bentuk

Ini adalah kasus khusus dari di mana F = u∇v.

B. Identitas Kedua Green

Identitas kedua adalah

dalam notasi yang berbeda,

Hal ini diturunkan dari identitas pertama dengan mengaitkan/menukar u dan v lalu mengurangkannya. Identitas kedua ini mengandaikan bahwa baik u maupun v memiliki turunan kedua yang kontinu di T.

Contoh Soal

1. Misalkan S adalah silinder pejal yang dibatasi oleh x² + y² = 4, z = 0, dan z = 3, serta misalkan n adalah normal satuan luar terhadap batas ∂S. Jika F = (x³ + tan yz)i + (y³ − eˣᶻ)j + (3z + x³)k, tentukan fluks F yang melintasi ∂S.

Tentunya akan sulit menentukan fluks F secara langsung, maka dari itu lebih mudah jika kita menggunakan teorema divergensi Gauss. Perhatikan:

P = x³ + tan yz; Q = y³ − eˣᶻ; R = 3z + x³

∂P/∂x = 3x²; ∂Q/∂y = 3y²; ∂R/∂z = 3

div F = 3x² + 3y² + 3 = 3(x² + y² + 1)

Menurut Teorema Divergensi Gauss:

Dikarenakan benda pejalnya berbentuk silinder, lebih mudah menggunakan koordinat silinder

Jadi, fluks F yang melintasi ∂S adalah 108π satuan.

2. Misalkan S adalah wilayah padat yang mengandung massa titik M di titik asal pada bagian dalamnya dan dengan medan yang bersesuaian F = −cMr/║r║³. Tentukan fluks F melintasi ∂S.

Karena F tidak kontinu di titik asal, Teorema Gauss tidak berlaku secara langsung. Namun, mari kita bayangkan sebuah bola padat kecil Sₐ yang berpusat di titik asal dan berjari-jari a telah dikeluarkan dari S, menyisakan benda padat W dengan batas luar ∂S dan batas dalam ∂Sₐ. Ketika kita menerapkan Teorema Gauss pada W, kita memperoleh:

Tetapi div F = 0, sehingga

Pada permukaan ∂Sₐ, n = −r/║r║ dan ║r║ = a. Konsekuensinya,

Jadi, fluks F melintasi ∂S adalah −4πcM.
Kita dapat memperluas hasil ini ke kasus di mana benda padat S mengandung k massa titik M₁, M₂, ..., Mₖ di bagian dalamnya. Hasilnya, yang dikenal sebagai Hukum Gauss, memberikan fluks F yang melintasi ∂S sebagai:

Hukum Gauss dapat diperluas untuk suatu benda B dengan massa berukuran M yang terdistribusi secara kontinu, dengan cara membagi-baginya menjadi potongan-potongan kecil dan mengaproksimasi potongan-potongan tersebut sebagai massa titik. Hasil untuk setiap wilayah S yang memuat B adalah

3. Misal sebuah bola logam padat berjari-jari 1 memiliki sifat termal:

• Suhu di dalam bola meningkat seiring menjauhnya titik dari sumbu tegaknya, dengan suhu titik-titik di dalam bola sama dengan kuadrat jarak titik dari sumbu tegak bola.

• Di kulit bola terpasang sensor yang sangat peka di kedua kutub bola, namun sama sekali tidak peka di garis khatulistiwa bola, dengan sensitifitas sensor terhadap titik-titik di dalam bola sama dengan kuadrat jarak titik dari bidang menengah bola.

Tentukan total fluks panas yang keluar menembus permukaan bola yang diboboti oleh sensitifitas sensor.

Bola pejal T yang diberikan dibatasi oleh bola S: x² + y² + z² = 1.

Sensitifitas sensor diberikan oleh fungsi u(x, y, z) = z².

Suhu titik-titik di dalam bola diberikan oleh fungsi v(x, y, z) = x² + y².

Total fluks panas yang keluar menembus permukaan bola yang diboboti oleh sensitifitas sensor diberikan oleh integral

Melalui Identitas Pertama Green, perhitungan di permukaan kulit bola ini diubah menjadi analisis kondisi di dalam interior bola:

Perhatikan

∇u = (0, 0, 2z); ∇v = (2x, 2y, 0)

∇u ⋅ ∇v = 0

∇²v = ∇ ⋅ ∇v = 2 + 2 + 0 = 4

u∇²v = 4z²

Diperoleh integralnya menjadi:

Untuk memudahkan perhitungan, ubah ke koordinat bola:

Jika dihitung, akan diperoleh hasil integralnya adalah 16π/15.

Jadi, total fluks panas yang keluar menembus permukaan bola yang diboboti oleh sensitifitas sensor tersebut adalah 16π/15 ≈ 3,351 satuan.