Teorema Fundamental Integral Garis dan Kebebasan Lintasan

1. Teorema Fundamental Integral Garis

Misalkan C adalah kurva mulus sepotong-sepotong yang diberikan secara parametrik oleh r = r(t), a ≤ t ≤ b, yang dimulai di a = r(a) dan berakhir di b = r(b). Jika f terdiferensialkan secara kontinu pada himpunan terbuka yang memuat C, maka:

2. Daerah Terhubung Sederhana

Suatu himpunan terbuka terhubung D disebut wilayah terhubung sederhana (simply connected region) jika wilayah tersebut memiliki sifat bahwa kapan pun suatu kurva tertutup sederhana C berada di dalam D, maka semua titik di dalam C juga berada di dalam D. Jika D tidak terhubung sederhana, maka disebut terhubung ganda (multiply connected).

Sifat terhubung sederhana merupakan sifat "secara keseluruhan" (in the large). Bagian dalam dari sebuah lingkaran atau persegi panjang adalah terhubung sederhana. Wilayah di antara dua lingkaran sepusat (konsentris) adalah terhubung ganda. Begitu pula dengan wilayah yang terdiri dari seluruh bidang kecuali satu atau sejumlah berhingga titik.

Suatu wilayah yang tidak terhubung sederhana sering kali dapat dijadikan terhubung sederhana dengan menyisipkan pembatas tertentu berupa kurva yang titik-titiknya tidak lagi dianggap sebagai bagian dari wilayah tersebut. Kurva seperti itu disebut potongan (cuts). Sebagai contoh, misalkan D adalah seluruh bidang kecuali titik asal (titik pusat koordinat). Ini adalah wilayah yang tidak terhubung sederhana. Namun, jika kita menyisipkan sumbu-x positif sebagai potongan, wilayah yang telah dimodifikasi (sebut saja D') menjadi terhubung sederhana. Tidak ada kurva yang mengelilingi titik asal yang dapat berada sepenuhnya di dalam D', dan fakta bahwa kurva semacam itu berada di dalam D lah yang membuat D tidak terhubung sederhana.

3. Kriteria Kebebasan Lintasan

Sebut suatu himpunan D terhubung jika sembarang dua titik di D dapat dihubungkan oleh kurva mulus sepotong-sepotong yang terletak seluruhnya di dalam D. Kemudian sebut

independen terhadap lintasan di D jika untuk sembarang dua titik A dan B di D, integral garisnya memiliki nilai yang sama untuk setiap lintasan C di D yang berorientasi positif dari A ke B. Jika F merupakan gradien dari fungsi lain f, maka

independen terhadap lintasan, begitu juga sebaliknya.

Misalkan F(r) kontinu pada himpunan terbuka terhubung D. Maka integral garis

independen terhadap jalur di D jika dan hanya jika F(r) = ∇f(r) untuk suatu fungsi skalar f; artinya, jika dan hanya jika F adalah medan vektor konservatif pada D.

4. Beberapa Kondisi Ekivalen

Misalkan F(r) kontinu pada himpunan terbuka terhubung D. Maka kondisi-kondisi berikut ini ekivalen:

Terdapat interpretasi fisik yang menarik. Usaha yang dilakukan oleh medan gaya konservatif saat menggerakkan sebuah partikel mengelilingi suatu jalur tertutup adalah nol. Secara khusus, hal ini berlaku untuk medan gravitasi maupun medan listrik, karena keduanya bersifat konservatif.

5. Hubungan Sifat Konservatif dengan Turunan Parsial

Misalkan F = Mi + Nj + Pk, di mana M, N, dan P kontinu bersama dengan turunan parsial orde pertamanya dalam himpunan terbuka terhubung D, yang juga terhubung sederhana. Maka F bersifat konservatif (F = ∇f) jika dan hanya jika curl F = 0, artinya, jika dan hanya jika:

∂M/∂y = ∂N/∂x ,  ∂M/∂z = ∂P/∂x ,  ∂N/∂z = ∂P/∂y

Dalam kasus dua variabel, di mana F = Mi + Nj, F bersifat konservatif jika dan hanya jika:

∂M/∂y = ∂N/∂x

6. Kekekalan Energi

Mari kita buat sebuah penerapan ke bidang fisika dan sekaligus memberikan alasan untuk penamaan medan gaya konservatif. Kita akan menetapkan Hukum Kekekalan Energi, yang menyatakan bahwa jumlah energi kinetik dan energi potensial dari suatu objek akibat gaya konservatif adalah konstan.

Misalkan sebuah objek bermassa m bergerak sepanjang kurva mulus C yang diberikan oleh:

r = r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k,  a ≤ t ≤ b

di bawah pengaruh gaya konservatif F(r) = ∇f(r). Dari fisika, kita mempelajari tiga fakta tentang objek tersebut pada waktu t:

1. F(r(t)) = ma(t) = mr''(t)  (Hukum Kedua Newton)

2. KE = ½m‖r'(t)‖²  (KE = energi kinetik)

3. PE = –f(r)  (PE = energi potensial)

Dengan demikian,

d/dt (KE + PE) = d/dt [½m‖r'(t)‖² – f(r)]

= (m/2) d/dt [r'(t) · r'(t)] – [(∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt) + (∂f/∂z)(dz/dt)]

= mr''(t) · r'(t) – ∇f(r) · r'(t)

= [mr''(t) – ∇f(r)] · r'(t)

= [F(r) – F(r)] · r'(t) = 0

Kita simpulkan bahwa KE + PE adalah konstan.

Contoh Soal

1. Diberikan fungsi f dengan f(x, y, z) = x²yz + 3y² – z dan C adalah sebuah kurva yang didefinisikan secara parametrik oleh:

r(t) = (t + 1)i + t²j + (2t³ – t)k, 0 ≤ t ≤ 1

Tentukan:

Perhatikan bahwa f merupakan fungsi polinom, sehingga f terdiferensialkan secara kontinu pada seluruh ℝ³, sehingga juga berlaku untuk setiap subset terbuka dari ℝ³, termasuk ruang di dalam bola yang berpusat di O berjari-jari 3, yang memuat C. Kurva C mulus sepenuhnya.

Koordinat titik awal kurva adalah ketika t = 0, yaitu a = r(0) = i + 0j + 0k = (1, 0, 0)

Koordinat titik akhir kurva adalah ketika t = 1, yaitu b = r(1) = 2i + j + k = (2, 1, 1)

f(a) = f(1, 0, 0) = 0 + 0 – 0 = 0

f(b) = f(2, 1, 1) = 4 + 3 – 1 = 6

Menurut teorema fundamental integral garis, hasil integralnya adalah f(b) – f(a) = 6 – 0 = 6.

2. Diberikan sebuah medan vektor:

F(x, y) = (3x²y + eʸ)i + (x³ + xeʸ + 2y)j 

Hitunglah nilai dari

sepanjang sebarang kurva mulus C yang dimulai dari titik A(0, 0) dan berakhir di titik B(1, 2).

Dari bentuk medan vektor F(x, y) = Mi + Nj, kita peroleh:

M(x, y) = 3x²y + eʸ,    N(x, y) = x³ + xeʸ + 2y

Periksa turunan parsial

• ∂M/∂y = ∂/∂y (3x²y + eʸ) = 3x² + eʸ

• ∂N/∂x = ∂/∂x (x³ + xeʸ + 2y) = 3x² + eʸ

Karena ∂M/∂y = ∂N/∂x = 3x² + eʸ pada seluruh bidang ℝ² (yang merupakan himpunan terbuka, terhubung, dan terhubung sederhana), maka medan vektor F konservatif.

Karena medan vektor F konservatif, nilai integral garisnya hanya bergantung pada titik awal dan titik akhir, dan tidak dipengaruhi oleh rute lintasan C yang dipilih dari A ke B.

Akan dicari fungsi skalar f(x, y) sedemikian rupa sehingga ∇f = F, yang berarti:

(i) ∂f/∂x = 3x²y + eʸ

(ii) ∂f/∂y = x³ + xeʸ + 2y

Integralkan persamaan (i) terhadap variabel x:

f(x, y) = ∫ (3x²y + eʸ) dx = x³y + xeʸ + C(y)

Sekarang, turunkan f(x, y) tersebut terhadap y dan samakan dengan persamaan (ii) untuk mencari C(y):

∂f/∂y = x³ + xeʸ + C'(y)

Samakan dengan nilai ∂f/∂y dari persamaan (ii):

x³ + xeʸ + C'(y) = x³ + xeʸ + 2y

Sederhanakan persamaan di atas:

C'(y) = 2y

Integralkan C'(y) terhadap y:

C(y) = ∫ 2y dy = y²

Dengan demikian, kita peroleh fungsi potensial lengkapnya (mengambil konstanta integrasi = 0):

f(x, y) = x³y + xeʸ + y²

f(B) = f(1, 2) = (1)³(2) + (1)e² + (2)² = 2 + e² + 4 = 6 + e²

f(A) = f(0, 0) = (0)³(0) + (0)e⁰ + (0)² = 0

Menurut teorema fundamental integral garis, hasil integralnya adalah f(B) – f(A) = 6 + e² – 0 = 6 + e².