Teorema Green (Kalvek)

Teorema Green merupakan salah satu pilar utama dalam kalkulus vektor yang memperluas konsep Teorema Dasar Kalkulus ke dimensi yang lebih tinggi. Teorema ini menyatakan bahwa untuk menghitung jenis integral tertentu atas suatu wilayah, kita dapat melakukan perhitungan pada batas wilayah tersebut yang melibatkan satu tingkat integrasi lebih sedikit.

Dimensi 1 (Teorema Dasar Kalkulus): Menghitung integral pada interval wilayah [a, b] cukup dengan mengevaluasi fungsi antiturunan pada batasnya (dua titik ujung, a dan b), yang berarti tanpa integrasi sama sekali.

Dimensi 2 (Teorema Green): Menghitung integral lipat dua atas suatu wilayah bidang dua dimensi (2D) dengan cara melakukan integral garis tunggal di sepanjang kurva satu dimensi (1D) yang menjadi batas wilayah tersebut. Teorema ini berasal dari George Green (1793 – 1841), seorang fisikawan matematika asal Inggris yang belajar secara otodidak.

Kita misalkan C adalah kurva tertutup sederhana yang membentuk batas dari wilayah S pada bidang XOY. Misalkan C diorientasikan sedemikian rupa sehingga melintasi C dalam arah positifnya membuat S tetap berada di sebelah kiri (orientasi berlawanan arah jarum jam). Integral garis yang sesuai dari F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j di sekitar C dinotasikan dengan

1. Kondisi Wilayah

Misalkan R adalah wilayah tertutup dan terbatas pada bidang XOY yang berkategori wilayah reguler (artinya, wilayah yang cukup bagus dan batasnya terdiri dari sejumlah hingga kurva tertutup sederhana yang tidak saling berpotongan, serta mulus bagian demi bagian).

Misalkan C menyatakan kumpulan kurva yang membentuk batas dari wilayah tersebut. Kurva C harus memiliki orientasi positif, yang didefinisikan secara geometris:

1. Lintasan C dilalui berlawanan arah jarum jam.

2. Jika seseorang berjalan menelusuri C dalam arah positif, wilayah R selalu berada di sebelah kiri orang tersebut.

Jika P(x, y) dan Q(x, y) adalah fungsi-fungsi yang kontinu dan memiliki turunan parsial pertama (∂P/∂y dan ∂Q/∂x) yang juga kontinu pada wilayah tersebut beserta batasnya, maka berlaku kesamaan:

Notasi alternatif untuk format medan vektor: Jika F = ⟨P, Q⟩, maka integral garisnya kerap ditulis sebagai

2. Geometri Wilayah

A. Dekomposisi Fungsi

Fungsi P dan Q di dalam teorema ini bersifat saling bebas, sehingga dapat didekomposisi secara terpisah:

1. Komponen P (Terhadap x)

2. Komponen Q (Terhadap y)

Catatan Geometris: Pengaturan arah sumbu standar (di mana rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar 90° membawa sumbu-x positif ke posisi sumbu-y positif) bertanggung jawab atas kemunculan tanda minus pada komponen P dan tidak adanya tanda minus pada komponen Q.

B. Bentuk Wilayah

1. Wilayah Sederhana

Untuk wilayah yang dibatasi oleh interval c ≤ x ≤ d dengan kurva bawah y = Y₁(x) dan kurva atas y = Y₂(x). Integral terdalam terhadap y diselesaikan langsung menggunakan Teorema Dasar Kalkulus, yang hasilnya sama dengan hasil parameterisasi integral garis di sepanjang kurva batas.

2. Wilayah Kompleks

Untuk wilayah yang memiliki lubang atau berbentuk rumit (tidak sederhana), wilayah tersebut dibagi menjadi beberapa subwilayah kecil yang masing-masing bersifat sederhana. Ketika rumus diterapkan pada setiap subwilayah dan dijumlahkan, garis pembagi interior akan dilewati dua kali dengan arah yang berlawanan. Akibatnya, integral garis di bagian dalam akan saling menghilangkan secara berpasangan (neto = 0), sehingga hanya menyisakan integral garis pada total batas luar dan dalam yang asli (misalnya, berlawanan arah jarum jam pada batas terluar dan searah jarum jam pada batas lubang dalam).

3. Teorema Green

Misalkan C adalah kurva tertutup sederhana yang mulus sepotong-sepotong yang membentuk batas dari wilayah S pada bidang-xy. Jika M(x, y) dan N(x, y) kontinu dan memiliki turunan parsial yang kontinu pada S dan batasnya C, maka

4. Bentuk Vektor dari Teorema Green

Kita misalkan C adalah kurva tertutup sederhana yang mulus pada bidang XOY dan telah diberi orientasi berlawanan arah jarum jam melalui parameterisasi panjang busurnya x = x(s) dan y = y(s). Maka

T = (dx/ds)i + (dy/ds)j

adalah vektor singgung satuan dan

n = (dy/ds)i – (dx/ds)j

adalah vektor normal satuan yang mengarah keluar dari wilayah S yang dibatasi oleh C. (Perhatikan bahwa T · n = 0).

A. Bentuk Vektor Pertama / First Vector Form

Jika F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j adalah medan vektor, maka

Di sisi lain,

div F = ∇ · F = ∂M/∂x + ∂N/∂y

Kita menyimpulkan bahwa

B. Bentuk Vektor Kedua / Second Vector Form

Ada bentuk vektor lain untuk Teorema Green. Kita mengubah sudut pandang bidang, sebagai subset dari ruang dimensi tiga.

Jika F = Mi + Nj + 0k, maka Teorema Green menyatakan bahwa

Di sisi lain,

sehingga

(curl F) · k = (∂N/∂x – ∂M/∂y)

Teorema Green dengan demikian mengambil bentuk

Jika kita menerapkan hasil ini pada lingkaran kecil Cᵣ yang berpusat di (x₀, y₀), kita memperoleh

Ini menyatakan bahwa aliran dalam arah garis singgung terhadap Cᵣ (sirkulasi dari F di sekitar Cᵣ) diukur oleh curl dari F. Dengan kata lain, curl F mengukur kecenderungan fluida untuk berotasi di sekitar (x₀, y₀). Jika curl F = 0 di wilayah S, aliran fluida yang bersangkutan dikatakan tidak berotasi (irrotational).

5. Interpretasi Fisis Geometris

A. Divergensi dan Fluks (Aspek Geometris Normal)

Bayangkan lapisan seragam dari fluida dengan massa jenis konstan yang bergerak melintasi bidang XOY, lapisan yang sangat tipis sehingga kita dapat menganggapnya sebagai dua dimensi. Kita ingin menghitung laju di mana fluida di wilayah S melintasi kurva batasnya C.

Misalkan F(x, y) = v(x, y) menyatakan vektor kecepatan fluida di (x, y), dan misalkan Δs menjadi panjang segmen pendek dari kurva dengan titik awal (x, y). Jumlah fluida yang melintasi segmen ini per satuan waktu kira-kira adalah luas jajargenjang, yaitu v · n Δs. Jumlah (neto) fluida yang meninggalkan S per satuan waktu, yang disebut fluks dari medan vektor F yang melintasi kurva C dalam arah keluar, oleh karena itu fluks dari F melintasi C (disebut fluks neto) adalah

Sekarang perhatikan titik tetap (x₀, y₀) di S dan lingkaran kecil Cᵣ berradius r di sekitarnya. Pada Sᵣ, wilayah melingkar dengan batas Cᵣ, div F akan kira-kira sama dengan nilainya div F(x₀, y₀) di pusat (kita berasumsi bahwa div F kontinu); jadi, berdasarkan Teorema Green, fluks dari F melintasi Cᵣ adalah

Kita menyimpulkan bahwa div F(x₀, y₀) mengukur laju di mana fluida "menyebar menjauh" (diverging away) dari (x₀, y₀).

• Jika div F(x₀, y₀) > 0, terdapat sumber (source) fluida di (x₀, y₀); fluida menyebar menjauh atau diproduksi.

• Jika div F(x₀, y₀) < 0, terdapat lubang pembuangan (sink) untuk fluida di (x₀, y₀); fluida menyusut atau diserap.

• Jika fluks yang melintasi batas suatu wilayah adalah nol, maka sumber dan pembuangan di wilayah tersebut harus saling menyeimbangkan.

Di sisi lain, jika tidak ada sumber atau pembuangan di wilayah S, maka div F = 0 dan, berdasarkan Teorema Green, terdapat aliran neto sebesar nol yang melintasi batas S.

B. Curl dan Sirkulasi (Aspek Geometris Tangensial)

Pengintegralan 𝑭 ⋅ 𝑻 sepanjang lintasan C terhadap s mengukur sirkulasi, yaitu kecenderungan fluida untuk bergerak searah dengan garis singgung kurva batas.

Pada lingkaran kecil Cᵣ, berlaku hubungan:

• Curl mengukur kecenderungan atau kecepatan sudut fluida untuk berotasi di sekitar titik tertentu.

• Jika curl F = 0 di seluruh wilayah R, maka aliran fluida tersebut dikatakan tidak berotasi (irrotational).

C. Kasus Khusus: Medan Vektor Konservatif

Ketika medan vektor F bersifat konservatif, berlaku sifat turunan parsial silang yang sama, yaitu ∂P/∂y = ∂Q/∂x, yang berakibat pada nilai ∂Q/∂x – ∂P/∂y = 0.

Dalam kondisi ini, Teorema Green bekerja secara konsisten dan menunjukkan kebenaran yang mutlak namun trivial:

• Integral lipat dua dari fungsi nol menghasilkan nilai 0.

• Integral garis pada kurva tertutup dari medan konservatif selalu menghasilkan nilai 0.

• Teorema secara konsisten menyatakan hubungan matematis yang harmonis: 0 = 0.

Contoh Soal

1. Hitunglah integral garis berikut:

di mana C adalah batas segitiga dengan titik-titik sudut (0, 0), (1, 0), dan (0, 1) yang diorientasikan berlawanan arah jarum jam.

P(x, y) = x⁴  →  ∂P/∂y = 0; Q(x, y) = xy  →  ∂Q/∂x = y

Batas segitiga C membatasi wilayah R pada bidang XOY dengan pertidaksamaan:

0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1 – x

Menurut Teorema Green:

Jadi, hasil dari integral garis tersebut adalah ⅙.

2. Diberikan medan kecepatan fluida:

F(x, y) = (2x + y³)i + (3y – x²)j 

Hitunglah fluks neto dari fluida yang keluar menembus batas C dari daerah D, di mana D adalah wilayah lingkaran x² + y² ≤ 4.

Medan vektor F = Mi + Nj memiliki komponen:

M(x, y) = 2x + y³  →  ∂M/∂x = 2; N(x, y) = 3y – x²  →  ∂N/∂y = 3

Maka divergensinya adalah div F = ∂M/∂x + ∂N/∂y = 2 + 3 = 5

Menurut teorema Green untuk bentuk divergensi:

Daerah D merupakan lingkaran berjari-jari 2, sehingga luasnya 4π satuan; sedangkan benda pejal yang terbentuk oleh integral ini membentuk tabung yang luas alasnya 4π satuan dan tingginya 5 satuan, sehingga hasil integral ini adalah volume tabung, yaitu 20π satuan.

Jadi, fluks neto yang keluar dari wilayah lingkaran tersebut adalah 20π.

3. Sebuah medan gaya diberikan oleh:

F(x, y) = –y³i + x³j + 0k 

Hitunglah sirkulasi dari F di sekitar kurva tertutup C yang merupakan batas persegi dengan titik-titik sudut (0,0), (1,0), (1,1), dan (0,1) diorientasikan berlawanan arah jarum jam.

Untuk F = Mi + Nj + 0k:

M(x, y) = –y³  →  ∂M/∂y = –3y²; N(x, y) = x³   →  ∂N/∂x = 3x²

Komponen k dari curl F adalah:

(curl F) · k = ∂N/∂x – ∂M/∂y = 3x² – (–3y²) = 3x² + 3y²

Menurut teorema Green bentuk curl:

Jadi, sirkulasi dari medan gaya di sekitar persegi tersebut adalah 2.

4. Suatu aliran fluida dua dimensi dipetakan oleh medan kecepatan:

F(x, y) = (x² – y)i + (x + y²)j 

Apakah titik (2, 1) bertindak sebagai sumber (source), pembuangan (sink), atau tidak keduanya?

M(x, y) = x² – y  →  ∂M/∂x = 2x; N(x, y) = x + y²  →  ∂N/∂y = 2y

div F = ∂M/∂x + ∂N/∂y = 2x + 2y

div F(2, 1) = 2(2) + 2(1) = 4 + 2 = 6 > 0

div F(2, 1) = 6 > 0, maka titik (2, 1) bertindak sebagai sumber (source) tempat fluida menyebar menjauh.