Teorema Stokes (Kalvek)

1. Hubungan Teorema Stokes dengan Teorema Green

Teorema Stokes merupakan generalisasi tiga dimensi dari Teorema Green di bidang datar. Jika Teorema Green menghubungkan integral garis pada kurva tertutup di bidang XOY dengan integral lipat dua di dalam daerah datar tersebut, maka Teorema Stokes memperluas gagasan ini ke permukaan melengkung tiga dimensi di ruang ℝ³.

Bentuk komponen skalar dari Teorema Stokes dinyatakan sebagai:

Bentuk notasi vektor yang elegan:

di mana:

• S adalah permukaan melengkung yang dibatasi oleh kurva tertutup sederhana ∂S (atau C).

• F = Pi + Qj + Rk adalah medan vektor yang komponen-komponennya memiliki turunan parsial tingkat pertama yang kontinu pada S dan ∂S.

• n adalah vektor normal satuan pada sisi positif permukaan S.

• T adalah vektor singgung satuan pada kurva batas ∂S.

2. Syarat Permukaan dan Orientasi (Orientation)

Agar Teorema Stokes dapat berlaku, permukaan S harus memenuhi beberapa prasyarat topologis yang ketat:

A. Permukaan Dua Sisi (Orientable):

Permukaan S harus memiliki dua sisi yang jelas sehingga vektor normal satuan n dapat bervariasi secara kontinu. Permukaan bermuka satu seperti Pita Möbius dieliminasi dari pembahasan karena tidak memungkinkan penentuan sisi positif secara konsisten.

B. Aturan Orientasi Batas (Kaidah Tangan Kanan):

Orientasi kurva batas ∂S harus konsisten dengan arah vektor normal n. Terdapat dua cara pandang intuitif yang ekivalen:

1. Aturan Berjalan & Belok Kiri: Bayangkan kita berdiri tegak di atas permukaan pada sisi positif (arah n dianggap "atas"). Berjalanlah menuju tepi/batas permukaan, lalu belok kiri. Arah langkah kita adalah arah orientasi kurva batas yang benar.

2. Aturan Pengamat: Jika kita berdiri di dekat tepi dengan kepala mengarah ke n dan mata melihat ke arah kurva, maka permukaan S selalu berada di sebelah kiri kita. Secara visual dari atas, orientasi batas tampak berlawanan arah jarum jam.

3. Kasus Khusus

A. Teorema Green pada Bidang

Jika permukaan S terletak sepenuhnya rata pada bidang XOY, maka vektor normal satuan berimpit dengan sumbu z positif (n = k), sehingga cos α = 0, cos β = 0, cos γ = 1, dan dz = 0. Dalam kondisi ini, Teorema Stokes secara otomatis tereduksi kembali menjadi Teorema Green.

B. Permukaan Tertutup

Jika permukaan S bersifat tertutup (seperti permukaan bola atau balon) sehingga tidak memiliki batas kurva tepi (∂S = ∅), maka integral garis batas bernilai nol. Akibatnya, integral permukaan dari curl medan vektor di atas permukaan tertutup selalu bernilai nol:

4. Interpretasi Fisis

Dalam konteks mekanika fluida atau medan elektromagnetik, Teorema Stokes memiliki makna fisis yang sangat kuat:

• Sirkulasi: Integral garis ∮_C F · T ds mengukur total sirkulasi dari medan vektor F di sekitar kurva tertutup C.

• Curl sebagai Kerapatan Sirkulasi: Operator ∇ × F (atau curl F) merepresentasikan rotasi persatuan luas dari medan vektor pada suatu titik.

• Analogi Roda Dayung (Paddle Wheel): Jika sebuah roda dayung kecil ditempatkan di dalam fluida pada suatu titik dengan poros mengarah ke vektor normal n, roda tersebut akan berputar paling cepat ketika arah porosnya sejajar dengan ∇ × F. Arah putaran roda ditentukan oleh kaidah tangan kanan terhadap arah vektor curl tersebut.

Contoh Soal

1. Hitunglah integral garis ∮_C F · dr, di mana:

F(x, y, z) = –y³i + x³j + z³k dan C adalah kurva batas lingkaran x² + y² = 9 pada bidang z = 4, dengan orientasi berlawanan arah jarum jam jika dilihat dari atas.

Perhitungan integral garis ∮_C F · dr secara langsung agak sulit, oleh karena itu lebih mudah menggunakan teorema Stokes.

dengan S daerah disk yang dibatasi oleh C.

Karena kurva C berorientasi berlawanan arah jarum jam pada bidang mendatar z = 4, berdasarkan kaidah tangan kanan, vektor normal satuan mengarah ke atas (ke arah sumbu z positif):

n = k 

Elemen luas permukaan pada bidang mendatar ini adalah elemen luas bidang XOY:

dS = dA

(∇ × 𝑭) · n = (∇ × 𝑭) · k = 3(x² + y²)

Jika diselesaikan, hasil integralnya adalah 243π/2.

2. Sebuah fluida bergerak melingkar membentuk pusaran (vortex) di dalam tangki silinder. Medan kecepatan aliran fluida tersebut diberikan oleh vektor:

v = –2yi + 2xj + 5k 

Seseorang ingin mengukur total sirkulasi fluida di sepanjang tepi permukaan fluida

S: x² + y² + z = 4

yang dibatasi oleh kurva batas lingkaran C pada dasar bidang XOY. Hitung sirkulasi fluida di sepanjang kurva batas C dan jelaskan bagaimana sebuah roda dayung (paddle wheel) kecil akan berperilaku jika diletakkan di dalam aliran fluida tersebut.

Teorema Stokes menyatakan bahwa total sirkulasi di sepanjang kurva batas C sama dengan akumulasi curl (kepadatan rotasi) di seluruh permukaan S:

Teorema Stokes membolehkan kita memilih permukaan datar alternatif S' pada bidang XOY yang dibatasi oleh kurva lingkaran C yang sama.

Untuk permukaan datar S' pada bidang XOY, vektor normal satuannya adalah n = k, dan dS = dA.
(∇ × 𝒗) · n = (∇ × 𝒗) · k = 4

Integral ini seolah-olah menghitung volume benda pejal dengan alasnya S' dan tingginya konstan 4. Volumenya dapat dihitung dengan mudah, yaitu luas alas kali tinggi, yaitu luas S' dikali 4.

Pada bidang XOY, berlaku z = 0, sehingga S' dibatasi oleh lingkaran x² + y² = 4, yang berjari-jari 2.

V = 4 · 4π = 16π ≈ 50,26548 satuan.

Jadi, sirkulasi fluida di sepanjang kurva batas C adalah 50,26548 satuan.

Jika ditempatkan roda dayung kecil berporos di dalam aliran fluida tersebut:

• Roda dayung akan berputar paling cepat jika porosnya dipasang sejajar dengan sumbu-z (searah dengan vektor k).

• Jika poros roda dayung dipasang mendatar (sejajar bidang XOY, misalnya arah i atau j), roda dayung tidak akan berputar sama sekali, karena komponen curl pada arah tersebut adalah 0.

• Karena (∇ × 𝒗) = 4k bernilai konstan di seluruh titik, roda dayung akan berputar dengan kecepatan yang sama persis di mana pun ia diletakkan di dalam tangki, baik di dekat pusat pusaran maupun di dekat dinding tangki.