Pembuktian Geometri

Misalkan kita diminta untuk membuktikan bahwa jika diketahui jajargenjang ABCD dan titik E berada di tengah-tengah AB dan F ditengah-tengah CD tunjukkan bahwa AF sejajar ED. Diantara kita akan ada yang membuat gambar untuk memudahkan, sebagaimana berikut:

Kita dapat menggunakan sifat-sifat jajargenjang sebagai bantuan untuk membuktikannya

(i) Karena ABCD jajargenjang maka |AB| = |CD| dan AB//CD, |AD| = |BC|, AD//BC.

(ii) Karena BC//AD dan sama panjang, diketahui F dan E ditarik pada pertengahan, maka |DE| = |BF|, |AE| = |FC|

(iii) Karena CF//EA dan |CF|=|EA| maka |AF|=|EC| sehingga AFCE adalah jajargenjang dan mengakibatkan AF//CE

∴ Terbukti bahwa jika E dan F titik tengah dari AD dan BC pada jajargenjang ABCD maka AF//CE

Contoh lainnya:

Jika PQ, RS, dan MN adalah garis lurus, buktikan bahwa ∠a + ∠b = ∠PON

(i) Diketahui ∠a dan ∠b keduanya adjacent, dan ∠a + ∠b = ∠MOQ

(ii) ∠MOQ = ∠PON karena bertolak-belakang

∴ Terbukti bahwa ∠a + ∠b = ∠PON

Jika ∠PRS siku-siku dan ∠S komplemen ∠b, buktikan bahwa ∠S = ∠a

(i) Diketahui ∠PRS siku-siku

(ii) Diketahui juga ∠S komplemen ∠b, berarti ∠S + ∠b = 90°

(iii) Dari gambar ∠a komplemen ∠b, berarti ∠a + ∠b = 90°

∴ Terbukti bahwa ∠S = ∠a, keduanya sama dengan 90° - ∠b

Contoh yang lebih rumit:

Diketahui persegi panjang ABCD dengan AC sebagai diagonalnya. Jika titik E dan F adalah titik tengah AB dan DC serta FB berpotongan dengan AC di titik G. Buktikan bahwa  jarak titik G ke garis AB dua kali jarak G ke garis CD.

Diketahui ABCD persegi panjang dengan AC sebagai diagonalnya(i)

Diketahui E adalah titik tengah AB, berarti |AE| = |BE| = ½ |AB| (ii)

Diketahui F adalah titik tengah DC, berarti |DF| = |CF| = ½ |DC| (iii)

Diketahui FB berpotongan dengan AC di titik G (iv)

∠FGC = ∠AGB karena bertolak belakang (v)

∠FCG = ∠BAG karena dalam berseberangan (vi)

∠CFG = ∠ABG karena dalam berseberangan (vii)

Dari (v), (vi), (vii) ∆FGC sebangun dengan ∆AGB berdasarkan A-A-A (viii)

Dari (ii), (iii), (viii) |FC| = ½ |AB| (ix)

∴ Dari (viii) dan (ix) terbukti bahwa jarak titik G ke garis AB dua kali jarak G ke garis CD karena garis tinggi yang bersesuaian pada segitiga sebangun

Tonton video pembuktian geometri: