Perbandingan Harmonis

Misalkan titik P terletak pada segmen garis AB dan Q pada perpanjangan AB

rombongan 4 titik tersebut merupakan rombongan 4 titik yang harmonis jika PA/PB = QA/QB

P disebut titik harmonis ke-4 dari Q terhadap A dan B

A disebut titik harmonis ke-4 dari B terhadap P dan Q

Cara untuk mengkonstruksi titik P adalah:

1. Buat titik A, B, Q kolinear

2. Buat sebarang garis melalui A, tentukan sebarang titik pada garis tersebut (misalkan titik F), lalu hubungkan F dengan Q

3. Buat garis sejajar AF melalui B, memotong FQ di E

4. Tentukan titik D pada garis BE sehingga BD = BE

5. Hubungkan D dengan F, memotong AB di P

Perhatikan segitiga AFQ dan BEQ

(i) ∠AFQ = ∠BEQ karena sehadap

(ii) ∠FAQ = ∠EBQ karena sehadap

(iii) ∠AQF = ∠BQE karena berhimpit

∆AFQ ~ ∆BEQ, dari kesebangunannya diperoleh perbandingan QA/QB = BE/AF

Perhatikan segitiga AFP dan BDP

(i) ∠AFP = ∠BDP karena dalam berseberangan

(ii) ∠FAP = ∠DBP karena dalam berseberangan

(iii) ∠APF = ∠BPD karena bertolak belakang

∆AFP ~ ∆BDP, dari kesebangunannya diperoleh perbandingan PA/PB = BD/AF

Dikarenakan BD = BE, akibatnya PA/PB = BE/AF = QA/QB

∴ PA/PB = QA/QB