Bola Dalam Tetrahedron

1. Menentukan Pusat Bola Dalam Tetrahedron

Misal diberikan tetrahedron T.ABC dengan sisi ABC sebagai alas dan T sebagai puncak. Berikut langkah-langkah menentukan pusat bola dalam tetrahedron:

A. Bagi sudut antara bidang ABC dan TAB menjadi 2 bagian

Ingat kembali definisi sudut antara dua bidang, buat garis yang membagi sudut tersebut menjadi 2 bagian sama besar.

AB merupakan garis perpotongan bidang ABC dan TAB. Misal dipilih R sebagai titik tumpu, buat garis tegaklurus AB melalui R, satu garis terletak pada bidang ABC, dan satu garis terletak pada bidang TAB, sudut antara kedua garis sama dengan sudut antara bidang ABC dan TAB. Bagi sudut tersebut menjadi 2 bagian sama besar.

B. Buat bidang memuat AB dan garis bagi pada poin sebelumnya.

C. Lakukan hal yang sama untuk bidang ABC dan TBC

D. Lakukan juga hal yang sama untuk bidang ABC dan TAC

E. Potongkan ketiga bidang yang terbentuk

Pusat bola dalam terletak pada perpotongan ketiga bidang.

2. Menentukan Jari-Jari Bola Dalam Tetrahedron

Perhatikan gambar berikut:

Tetrahedron T.ABC dibagi menjadi 4 subtetrahedron yang masing-masing beralaskan sisi-sisi tetrahedron T.ABC yaitu ABC, TAB, TBC, TAC dan semuanya berpuncak di titik pusat lingkaran dalam tetrahedron. Jika sisi-sisi tetrahedron T.ABC dijadikan alas, tinggi masing-masing subtetrahedron adalah sama, yaitu jari-jari bola dalam. Berlaku:

Vol T.ABC = ⅓.r.[ABC] + ⅓.r.[TAB] + ⅓.r.[TBC] + ⅓.r.[TAC]

Vol T.ABC = ⅓ × r × ([ABC] + [TAB] + [TBC] + [TAC])

Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam tetrahedron sama dengan tiga kali volume tetrahedron dibagi jumlah luas sisi-sisinya.

Dengan kata lain, panjang jari-jari lingkaran dalam tetrahedron sama dengan tiga kali volume tetrahedron dibagi luas permukaannya.