Sixty Four Science

Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu variabel. Misal y = f(x(t)), dengan f dan x keduanya dapat diturunkan, kita dapat menentukan turunan y terhadap t dengan: Lalu bagaimana untuk fungsi lebih dari satu variabel? Apakah analog umum dari aturan rantai satu variabel berlaku? Ya, dan berikut adalah pernyataan yang sangat elegan tentang hal itu. Misalkan R menyatakan bilangan real dan Rⁿ menyatakan ruang Euclidean n-dimensi, misalkan g adalah fungsi dari R ke Rⁿ, dan misalkan f adalah fungsi dari Rⁿ ke R. Jika g dapat diturunkan pada t dan jika f dapat diturunkan pada g(t), maka fungsi komposit f ∘ g dapat diturunkan pada t dan (f ∘ g)'(t) = ∇f(g(t)) · g'(t) 1. Aturan Rantai Versi I Misal x = x(t) dan y = y(t) terdiferensialkan di t, dan misal z = f(x, y) terdiferensialkan di (x(t), y(t)), maka z = f(x(t), y(t)) terdiferensialkan di t dengan: atau misalkan p = (x, y) kita dapat menyatakannya: Contoh 1: Kasus untuk dua variabel Ketika sebuah tabung lingkaran tegak dipanaska...

Ingat kembali suatu fungsi f(x, y) dari dua variabel. Turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah yang sejajar dengan sumbu x dan y. Tujuan kita sekarang adalah mempelajari laju perubahan f pada arah sembarang. Hal ini mengarah pada konsep turunan berarah, yang pada gilirannya terkait dengan gradien. Akan lebih mudah jika kita menggunakan notasi vektor. Misalkan p = (x, y), dan i dan j adalah vektor satuan pada arah positif sumbu x dan y. Maka, kedua turunan parsial di titik p dapat ditulis sebagai berikut: Untuk mendapatkan konsep yang kita cari, yang perlu kita lakukan adalah mengganti i atau j dengan vektor satuan sembarang u . Dengan mengganti i atau j dengan vektor satuan sembarang u , kita dapat menghitung laju perubahan fungsi f pada arah yang ditentukan oleh vektor u . Ini adalah dasar dari konsep turunan arah. 1. Definisi dan Interpretasi Geometri Turunan Berarah Untuk setiap vektor satuan u , misal Ji...

1. Himpunan Ortonormal Sebuah himpunan vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut saling ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal di mana setiap vektor memiliki norm 1 disebut himpunan orthonormal. Contoh: Himpunan S = { u 1 ,  u 2 ,  u 3 } dengan  u 1  = (0, 1, 0),  u 2  = (1, 0, 1),  u 3  = (1, 0, −1). Himpunan S merupakan himpunan ortogonal karena 〈 u 1 ,  u 2 〉 = 〈 u 1 ,  u 3 〉 = 〈 u 2 ,  u 3 〉 = 0. Akan tetapi, S bukan himpunan ortonormal karena norm ‖ u 2 ‖ = ‖ u 3 ‖ = √2 ≠ 1.  Untuk mengubahnya menjadi himpunan ortonormal, bagi masing-masing dengan normnya. Himpunan S' ini merupakan himpunan ortonormal karena ortogonal dan setiap anggotanya bernorm 1. Dalam suatu ruang hasil kali dalam, sebuah basis yang terdiri dari vektor-vektor ortonormal disebut basis ortonormal, dan sebuah basis yang terdiri dari vektor-vektor ortogonal d...