Sixty Four Science

Dalam banyak contoh, suku ke-n dalam relasi rekursif dapat diperoleh sebagai koefisien xⁿ dalam perluasan deret pangkat dari suatu fungsi g(x) yang dapat dianggap sebagai fungsi pembangkit untuk relasi rekursif yang diberikan. Cukup sering persamaan fungsional untuk g(x) dapat diselesaikan secara aljabar dan kemudian diperoleh dengan menyatakan g(x) sebagai deret pangkat. Dengan kata lain, relasi rekursif dapat diselesaikan dengan menggunakan fungsi pembangkit terkait. Contoh Soal 1. Selesaikan persamaan rekursif aₙ − 5aₙ₋₁ + 6aₙ₋₂ = 0 untuk n ≥ 2; dengan a₀ = 2; a₁ = 5 solusi: Misalkan fungsi pembangkit biasa dari barisan tersebut adalah Kalikan persamaan rekursif dengan  xⁿ aₙ xⁿ  −  5aₙ₋₁ xⁿ  + 6aₙ₋₂ xⁿ  = 0 Ambil jumlah untuk  n ≥ 2 diperoleh sedikit manipulasi P(x)  − 2  − 5x  − 5x[P(x)  − 2 ] + 6x ² .P(x) = 0 P(x)  − 2  − 5x  − 5x.P(x) + 10x  + 6x ² .P(x) = 0 (1  − 5x + 6x ² ).P(x) =  2...

1. Definisi dan Formula Misalkan sebuah eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan dengan kondisi-kondisi berikut: 1. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas (independen). 2. Setiap percobaan dapat menghasilkan salah satu dari dua kemungkinan hasil, yaitu sukses dan gagal. 3. Probabilitas sukses adalah sama untuk semua percobaan. Sebuah variabel acak geometrik didefinisikan sebagai x = banyak percobaan sampai keberhasilan pertama diamati (termasuk percobaan yang berhasil) Distribusi probabilitas dari x disebut distribusi probabilitas geometrik. Jika X merupakan variabel random dengan peluang sukses untuk setiap percobaan adalah p, maka 2. Fungsi Pembangkit Momen, Rerata, dan Variansi A. Fungsi Pembangkit Momen B. Mean dan Variansi Sebelum menentukan mean dan variansi, kita tentukan terlebih dahulu turunan parsial pertama dan kedua dari fungsi pembangkit momen Masukkan t = 0 ke turunan parsial fungsi pembangkit momen Tentukan mean dan variansi Mean = E[X] = 1/p Var[X] = E[X²] − (E[...

1. Rumus Eksplisit dan Rumus Rekursif Barisan Rumus eksplisit barisan adalah rumus suku ke-n tanpa menyebut suku-suku sebelumnya, sedangkan rumus rekursif barisan adalah rumus suku ke-n dengan ada penyebutan suku-suku sebelumnya. contoh: Perhatikan barisan berikut ini 1, 3, 5, 7, ... Cari rumus suku ke-n dari barisan tersebut! Rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah Uₙ = 2n − 1 dengan n elemen himp bil asli. Rumus ini disebut sebagai rumus eksplisit. Selain itu, dapat juga dinyatakan Uₙ = Uₙ₋₁ + 2, U₁ = 1, dimana n ≥ 2. Rumus ini disebut sebagai rumus rekursif. 2. Relasi dan Persamaan Rekursif • Relasi rekursif (recurrence relation) adalah pendefinisian suatu suku dalam barisan dengan merujuk pada satu atau lebih suku-suku sebelumnya. • Persamaan rekursif adalah sebuah formula dimana setiap bagian dari suatu barisan dapat ditentukan menggunakan satu atau lebih bagian sebelumnya. • Jika aₖ adalah banyak cara untuk menjalankan prosedur dengan k objek, untuk k = 0, 1, 2, ..., maka Pe...

1. Fungsi Pembangkit Biasa dan Eksponen Misal (a n ) = (a 1 , a 2 , a 3 , ...) suatu barisan. A . Fungsi Pembangkit Biasa / Ordinary Generating Function (OGF) Fungsi pembangkit biasa dari barisan (a n ) didefinisikan sebagai B . Fungsi Pembangkit Eksponensial / Exponential Generating Function (EGF) Fungsi pembangkit eksponensial dari barisan (a n ) didefinisikan sebagai contoh: 1. Tentukan barisan terkait dengan  e x  baik sebagai OGF maupun EGF. rumus e x ini merupakan fungsi pembangkit biasa untuk barisan a n  = 1/n!, dan fungsi pembangkit eksponensial untuk barisan a n  = 1. 2. Tentukan OGF dari barisan bilangan genap dimulai dari 0. 0, 2, 4, 6, ... P(x) = 2x + 4x² + 6x³ + ... + 2nx n  + ... = 2x(1 + 2x + 3x² + 4x³ + ... + nx n-1  + ...) 2. Fungsi Pembangkit untuk Kombinasi A . Fungsi pembangkit untuk kombinasi tanpa perulangan Misal dipilih sebanyak r objek dari n objek tanpa perulangan. Karena tidak dibolehkan perulangan, setiap objek hanya dapat dipi...

Misal suatu persamaan diferensial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 persamaan diferensial dalam bentuk ini dikatakan eksak jika berlaku sebaliknya, persamaan diferensial dalam bentuk ini dikatakan non-eksak jika Perdif non-eksak masih memiliki kemungkinan untuk diubah menjadi eksak menggunakan faktor integrasi. Lalu, bagaimana cara menentukan faktor integrasinya? Silahkan coba cek salahsatu: Ingat! jika bisa maka silahkan digunakan, jika tidak bisa silahkan cek yang lain. 1. Cek untuk P(x) Jika P(x) merupakan fungsi terhadap x saja yang tidak bergantung pada y, maka kita dapat menentukan faktor integrasinya: μ(x) = exp[∫P(x) dx] kalikan faktor integrasi ke persamaan awal: μ(x)⋅M(x, y) dx + μ(x)⋅N(x, y) dy = 0 bentuk ini menjadi Perdif eksak, sehingga dapat diselesaikan menggunakan Perdif eksak. 2. Cek untuk Q(y) Jika Q(y) merupakan fungsi terhadap y saja yang tidak bergantung pada x, maka kita dapat menentukan faktor integrasinya: μ(y) = exp[∫Q(y) dy] kalikan faktor integrasi ke persamaan aw...