Sixty Four Science

1. Deret Taylor dan MacLaurin Perhatikan deret berikut: dengan interval konvergensi (c – R, c + R), untuk suatu 0 < R < ∞. Misalkan untuk sebarang x ∈ (c – R, c + R), fungsi f dapat dinyatakan sebagai: maka: f'(x) = a₁ + 2a₂(x – c) + 3a₃(x – c)² + ... f''(x) = 2a₂ + 6a₃(x – c) + 12a₄(x – c)² + ... f'''(x) = 6a₃ + 24a₄(x – c) + ... ⋮ f⁽ⁿ⁾(x) = n!aₙ + (n + 1)!aₙ₊₁(x – c) + ... Apabila diambil x = c, diperoleh: f'(c) = a₁;      a₁ = f'(c) f''(c) = 2a₂;      a₂ = f''(c)/2! f'''(c) = 6a₃;      a₃ = f'''(c)/3! ⋮ f⁽ⁿ⁾(c) = n!aₙ;      aₙ = f⁽ⁿ⁾(c)/n! Sehingga: Selanjutnya, diperoleh pernyataan sebagai berikut: Jika fungsi f dapat dinyatakan dalam deret pangkat dengan jari-jari konvergensi R maka: untuk setiap x ∈ (c – R, c + R). Persamaan terakhir disebut Deret Taylor fungsi f di sekitar x = c. Di atas telah ditunjukkan bahwa apabila fungsi f dapat direpresentasikan dalam maka deret tersebut haruslah sama dengan dere...

1. Pengenalan Fungsi Polinomial Taylor Dari semua fungsi yang telah dipelajari, fungsi suku banyak (polinomial): Pₙ(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ-₁x + aₙ merupakan fungsi yang paling sederhana, dalam arti operasi-operasi yang diperlukan hanyalah penjumlahan dan perkalian. Hal ini tidak akan terjadi pada fungsi eksponensial, fungsi sinus ataupun fungsi-fungsi lain. Karena sifat sederhana fungsi suku banyak tersebut, maka akan dipelajari bagaimana mengadakan pendekatan berbagai fungsi dengan suatu fungsi suku banyak jenis tertentu yang biasa dikenal dengan nama fungsi suku banyak Taylor (Taylor polynomials). Ingat kembali bahwa apabila ƒ diferensiabel di c maka ƒ dapat didekati dengan fungsi polinomial berderajat 1: P₁(x) = ƒ(c) + ƒ'(c)(x – c), asalkan x cukup dekat dengan c. Jadi: ƒ(x) ≈ ƒ(c) + ƒ'(c)(x – c) Grafik fungsi suku banyak P₁(x) merupakan garis singgung fungsi ƒ di x = c. Pendekatan yang lebih baik untuk ƒ adalah fungsi polinomial berderajat 2 yang grafiknya tidak hany...

Fun Mathematics Competition (FMC) 2025 merupakan suatu ajang kompetisi matematika yang diselenggarakan oleh Universitas Negeri Malang (UM) untuk mahasiswa/i dalam lingkup nasional. FMC dirancang dengan konsep pemecahan masalah yang mengandalkan kerja sama tim dengan berfikir kritis, logis, responsif, dan efektif untuk menemukan solusi dari permasalahan secara efisien. A. Cakupan Materi FMC 1. Kalkulus Bilangan real, limit, fungsi kontinu, turunan fungsi dan penggunaannya, integral dan penggunaannya, barisan, deret fungsi, limit fungsi, teorema Taylor, integral Riemann, dan topologi sistem bilangan real (himpunan terbuka, himpunan tertutup, titik limit, himpunan kompak, fungsi kontinu, ruang metrik). 2. Kombinatorika Koefisien binomial, graf dasar, Marriage Theorem, tiga prinsip dasar (pigeon hole, inklusi-eksklusi, dan paritas), graf Eulerian dan graf Hamiltonian, rekurensi, fungsi pembangkit, Aturan jumlah, aturan kali, barisan, permutasi, kombinasi, multiset. 3. Analisis Kompleks Bil...

Kita akan membahas penerapan persamaan diferensial pada rangkaian seri yang berisi • gaya gerak listrik (electromotive force), dan  • resistor, induktor, dan kapasitor. 1. Penurunan Tegangan Minfor asumsikan Sixtyfourians sudah agak familiar dengan komponen-komponen ini, jadi kita akan menghindari pembahasan yang ekstensif. Mari kita ingat saja bahwa gaya gerak listrik (misalnya, baterai atau generator) menghasilkan aliran arus dalam sirkuit tertutup dan bahwa arus ini menghasilkan apa yang disebut penurunan tegangan (voltage drop) di setiap resistor, induktor, dan kapasitor. Selanjutnya, tiga hukum berikut mengenai penurunan tegangan di seluruh elemen-elemen ini diketahui berlaku: • Hukum Penurunan Tegangan 1 Penurunan tegangan pada sebuah resistor diberikan oleh E R = RI, di mana R adalah konstanta proporsionalitas yang disebut resistansi, dan I adalah arus. • Hukum Penurunan Tegangan 2 Penurunan tegangan pada sebuah induktor diberikan oleh di mana L adalah konstanta proporsiona...