Sixty Four Science

1. Perkalian Silang Vektor Misal u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) dan  v  = ( v 1 , v 2 , v 3 ) merupakan vektor-vektor dalam dimensi tiga. Perkalian silang keduanya, ditulis u  × v , adalah vektor yang didefinisikan sebagai: u  × v = ( u 2 v 3  −  u 3 v 2 ,  u 3 v 1  −  u 1 v 3 ,  u 1 v 2  −  u 2 v 1 ) dapat dinotasikan juga dalam determinan untuk mempermudah mengingatnya, bisa juga dengan matriks berukuran 2 × 3: untuk menentukan komponennya, hapus kolom yang bertepatan dengannya, khusus komponen kedua tandanya dilawankan, INGAT kembali kofaktor. Catatan: Hasil kali silang vektor merupakan vektor, berbeda dengan hasil kali titik yang merupakan skalar. 2. Sifat-Sifat Perkalian Silang Vektor Misal u , v , w merupakan vektor dalam R3, berlaku sifat-sifat perkalian silang: a) Sifat Ortogonal u ∙ ( u  × v ) = 0 v ∙ ( u  × v ) = 0 Hasil kali silang dua vektor ortogonal terhadap kedua vektor tersebut. b) Identitas Lagrange Per...

A. Persamaan Garis Kutub Hiperbola Berpusat di O(0, 0) Misalkan garis singgung menyinggung ellips di titik Q(x 2 , y 2 ) dan R(x 3 , y 3 ) Persamaan garis melalui Q dan R disebut persamaan garis kutub ellips • Persamaan garis singgung melalui P dan Q b 2 x 1 x 2   –  a 2 y 1 y 2  = a 2 b 2  (i) • Persamaan garis singgung melalui P dan R b 2 x 1 x 3   –  a 2 y 1 y 3  = a 2 b 2   (ii) Kurangkan kedua persamaan menjadi: b 2 x 1 ( x 2   –  x 3 )  –   a 2 y 1 ( y 2   –  y 3 ) = 0 Gradien garis kutub melalui Q dan R adalah: • Persamaan garis melalui Q dengan gradien garis yang melalui Q dan R: B. Persamaan Garis Kutub Hiperbola Berpusat di M( α, β ) Ingat kembali pergeseran sumbu, misal sumbu awal yang berpusat di O(0, 0) digeser ke M( α, β ), koordinat baru untuk titik P adalah P'( x 1 ', y 1 ' ), dengan  x 1 '  =  x 1  –  α ,  y 1 ' =  y 1  –  β , sehingga persamaan garis kutub...

1. Persamaan garis singgung hiperbola di titik P( x 1 , y 1 ) pada hiperbola yang berpusat di O(0, 0) •  Titik P( x 1 , y 1 ) terletak pada hiperbola sehingga dipenuhi  b 2 x 1 2 – a 2 y 1 2 = a 2 b 2 . • Persamaan garis melalui  P( x 1 , y 1 ) bergradien m adalah: y  –  y 1  = m(x  –  x 1 ) y  =  m x  – m x 1  +   y 1  (i) • Garis tersebut memotong hiperbola, sehingga berlaku: b 2 x 2 – a 2 ( mx  –  mx 1   +  y 1 ) 2 = a 2 b 2 b 2 x 2 – a 2 ( m 2 x 2   +  x 1 2   +  y 1 2 – 2m 2 xx 1 + 2mxy 1 – 2mx 1 y 1 ) = a 2 b 2 b 2 x 2 – a 2 m 2 x 2   –   a 2 x 1 2   –   a 2 y 1 2 + 2a 2 m 2 xx 1 – 2a 2 mxy 1 + 2ma 2 x 1 y 1 = a 2 b 2 (b 2 – a 2 m 2 )x 2 + ( 2a 2 m 2 x 1 – 2a 2 my 1 )x + 2ma 2 x 1 y 1 –   a 2 x 1 2   –   a 2 y 1 2 = 0 garis tersebut memotong di satu titik (akarnya kembar), yaitu pada  P( x 1 , y 1 ), sehingga...

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yg memiliki sifat bahwa selisih jarak terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Dua titik tertentu tersebut adalah titik fokus. • Sumbu x dan sumbu y merupakan sumbu simetri • Jika titik (m, n) pada hiperbola, maka titik (-m, -n) juga pada hiperbola • Hiperbola memotong sumbu riil pada dua titik A(a, 0) dan B(-a, 0) yang disebut titik puncak # Langkah-langkah menggambar grafik hiperbola: • Tentukan titik-titik fokus  F 1  dan  F 2 , tentukan juga selisih jarak d • Tentukan titik A dan B pada ruas garis  F 1 F 2  sehingga | F 1 A| = |B F 2 | =  ½ (| F 1 F 2 |  − d ) • Titik-titik pada hiperbola dapat diperoleh dengan cara: (i) Buat lingkaran dengan pusat  F 1  dan jari-jari  r 1  > | F 2 A | (ii) Dari  F 2  buat lingkaran dengan jari-jari  r 1   − d (iii) Perpotongan kedua lingkaran adalah titik pada hiperbola (iv) Lakukan hal yang sama dengan mengganti  F 1 ...

1. Proyeksi Ortogonal Perhatikan gambar berikut: Suatu vektor u dapat didekomposisi menjadi dua bagian, satu sejajar dengan a , dan satu tegak lurus dengan a . Vektor  w 1 , disebut proyeksi ortogonal dari u pada a atau kadang-kadang komponen vektor dari u sepanjang a . Hal ini dinyatakan dengan  proj a u . Dikarenakan bagian ini sejajar dengan a , bagian ini merupakan perkalian skalar k a , dapat ditulis  ∃ k  ∈ R ∋  w 1  = k a Vektor  w 2 , disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a . Karena kita mendapati  w 2 , = u −  w 1 , vektor ini dapat ditulis ulang dalam notasi u   −  proj a u . 2. Panjang Vektor Proyeksi Bisa juga dinyatakan dalam bentuk lain: Ilustrasi untuk bentuk sudut: 3. Jarak Titik ke Garis Diberikan titik  P 0 (x 0 , y 0 ), tentukan jaraknya ke garis ax + by + c = 0 Misal Q( x 1 , y 1 ) sebarang titik pada garis, letakkan vektor n = (a, b) sehingga titik pangkalnya pada Q. Sebagaimana telah...