Sixty Four Science

Misal diberikan suatu barisan geometri dengan suku pertama dan rasionya 1/2, barisannya adalah: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... Misal dijumlahkan sebanyak n suku pertama S 1  = 1/2 S 2  = 1/2 + 1/4 = 3/4 S 3  = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8 ... S n  = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + (1/2) n  = 1 − (1/2 n ) Apabila jumlah ini dilimitkan menuju tak hingga, akan konvergen ke 1. Umumnya, deret tak hingga  a 1  +  a 2  +  a 3  + ... dinotasikan: Sedangkan jumlah parsial ke-n adalah jumlah n suku pertama yang dinotasikan: 1. Konvergensi Deret Definisi: Deret tak hingga  a 1  +  a 2  +  a 3  + ... konvergen dengan jumlah totalnya S jika barisan dari jumlah parsial { S n } konvergen ke S. Jika { S n } divergen maka deretnya divergen, dan deret yang divergen tidak memiliki jumlah total. 2. Uji Divergensi Umum Teorema: Jika suatu deret  a 1  +  a 2  +  a 3  + ... konvergen, maka barisan { a n } konver...

Suatu barisan  a 1 ,  a 2 , a 3 , ...  adalah susunan bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. Secara lebih formal, barisan tak hingga adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif dan rangenya adalah himpunan bilangan real. Kita dapat menyatakan suatu barisan dengan 1, 4, 7, 10, 13, ... dapat juga dengan bentuk eksplisit: a n  = 3n − 2, n ≥ 1 dapat juga dengan bentuk rekursif: a 1  = 1,  a n  =  a n-1  + 3, n ≥ 2 1. Konvergensi Definisi: Suatu barisan { a n } dikatakan konvergen ke L, kita tulis jika (∀ε > 0)(∃N > 0) ∋ n ≥ N → | a n  − L| < ε Sedangkan barisan yang tidak konvergen ke bilangan berhingga L apapun dikatakan divergen. Lebih mudahnya begini, suatu barisan { a n } dikatakan konvergen jika  a ∞  ≠ ±∞, sedangkan barisan { a n } dikatakan divergen jika  a ∞  = ±∞. Berikut ilustrasi untuk barisan  a n ...

Setengah putaran yang dinyatakan dengan H, merupakan kejadian khusus dari perputaran atau rotasi dengan sudut putar 180°. 1. Definisi Setengah putaran terhadap titik P, yang ditulis H P  adalah suatu pemetaan yang memenuhi: (i) Untuk A ≠ P, P adalah titik tengah segmen AA' dengan A' = H P (A) (ii) Untuk A = P, H P (P) = P 2. Rumus Setengah Putaran Misalkan titik P(a, b) dan H P  memetakan A(x, y) ke A'(x', y') berlaku: a = (x + x')/2 b = (y + y')/2 Jadi x' = 2a − x, dan y' = 2b − y dalam bentuk matriks: 3. Involusi Setengah putaran merupakan involusi. Hal ini berarti H P ² = I. Misal diberikan dua titik sebarang A(x, y) dan P(a, b), dan H P  setengah putaran terhadap P. H P (A) = A', dengan P titik tengah segmen AA' A'(x', y') = (2a − x, 2b − y) H P ²(A) = H P (A') = A''(2a − x', 2b − y') = (2a − (2a − x), 2b − (2b − y)) = (x, y) = A Jadi, setengah putaran merupakan involusi. Contoh Soal Misal titik B(4, 7) dan...

1. Turunan Parsial Misalkan f adalah fungsi dari dua variabel x dan y. Jika salahsatu variabel dibuat konstan, maka f menjadi fungsi satu variabel. a. Turunan parsial f(x, y) terhadap x, berarti variabel y pada f(x, y) dianggap konstan, dinyatakan dengan f x (x, y), dan didefinisikan sebagai: b. Turunan parsial f(x, y) terhadap y, berarti variabel x pada f(x, y) dianggap konstan, dinyatakan dengan f y (x, y), dan didefinisikan sebagai: Simbol yang digunakan untuk menyatakan turunan parsial adalah 𝜕. Misal z = f(x, y), kita dapat menyatakan f x (x, y) dengan 𝜕z/𝜕x, juga f y (x, y) dengan 𝜕z/𝜕y. Konsep ini menjelaskan bagaimana kita bisa melihat sebuah fungsi dari dua variabel sebagai fungsi dari satu variabel saja jika salah satu variabelnya dianggap konstan. Misalnya, jika kita memiliki fungsi yang menggambarkan suhu di suatu ruangan (yang bergantung pada panjang dan lebar ruangan), kita bisa memikirkan bagaimana suhu berubah jika kita hanya mengubah panjan...

1. Fungsi Dua Variabel Fungsi dua variabel f mengaitkan setiap pasangan terurut (x, y) yang merupakan anggota himpunan D pada bidang dengan tepat satu bilangan real f(x, y). Himpunan D disebut daerah asal fungsi. Jika tidak dinyatakan secara spesifik, kita menganggap D adalah daerah asal alamiah, yaitu himpunan terbesar di mana fungsi terdefinisi. Daerah hasil fungsi adalah himpunan dari semua nilai fungsi. Dengan cara yang sama, kita dapat mengembangkan fungsi tiga atau lebih variabel riil. contoh: Tentukan domain dari fungsi Agar nilai fungsi terdefinisi, diharuskan keduanya terdefinisi. Apabila digambarkan, grafik domainnya adalah: 2. Grafik Fungsi Dua Variabel Jika f fungsi dua variabel dengan daerah asal D, grafik dari f adalah himpunan semua titik (x, y, z) di ruang demikian sehingga z = f(x, y) dan (x, y) ∈ D. contoh: Buatlah grafik fungsi f(x, y) = sqrt(y + 1) + ln(x² − y) 3. Kurva Ketinggian dan Peta Kontur Jika irisan bidang z = k dengan permukaan...