Sixty Four Science

1. Komposisi Geseran dengan Rotasi Untuk sebarang titik A, B, P, dan besar sudut θ, selalu dapat ditemukan titik C sehingga: a. S AB R P, θ  = R C, θ   Misal terdapat dua garis sejajar r dan s dengan jarak antara keduanya adalah ½|AB|, sehingga dipenuhi S AB  = M r M s . Misal terdapat garis t yang memotong s di P dengan sudut antara s dan t adalah ½θ, sehingga dipenuhi R P, θ  = M s M t . Kita dapat menguraikan S AB R P, θ  = (M r M s )(M s M t ) = M r M s M s M t   = M r IM t   = M r M t , karena r sejajar s, sudut antara r dan t juga ½θ, misal r dan t berpotongan di C = R C, θ   b. R P, θ S AB  = R C, θ   Misal terdapat dua garis sejajar r dan s dengan jarak antara keduanya adalah ½|AB|, sehingga dipenuhi S AB  = M s M r . Misal terdapat garis t yang memotong s di P dengan sudut antara s dan t adalah ½θ, sehingga dipenuhi R P, θ  = M t M s . Kita dapat menguraikan R P, θ S AB  = M t M s M s M r   = M t ...

1. Definisi Misal diberikan garis s dan vektor AB dengan AB // s, yang dimaksud refleksi geser adalah pemetaan G yang memenuhi G = M s S AB . 2. Sifat Komutatif Komposisi Refleksi dan Geseran yang Sejajar Misal diberikan garis s dan vektor  AB  dengan  AB  // s, berlaku M s S AB  = S AB M s . Misal garis r dan t keduanya tegak lurus s dan jarak keduanya ½|AB|, titik P merupakan perpotongan r dengan s, titik Q merupakan perpotongan s dengan t. Jarak P dan Q juga ½|AB|, sehingga H Q H P  = S AB . M s S AB  = M s (H Q H P ) = M s (M s M t )(M r M s ) = I(M t M r )M s   = S AB M s   3. Invarian Refleksi geser tidak memiliki titik tetap. Satu-satunya garis tetap adalah sumbunya sendiri. • Refleksi geser merupakan komposisi dari refleksi dan geseran. Dikarenakan vektor geseran sejajar dengan sumbu refleksi, bayangan titik-titik yang tidak pada sumbu akan tetap berlawanan pihak terhadap sumbu, sehingga dipastikan berbeda dengan titik semula. ...

1. Pengenalan Misal S adalah sembarang himpunan tertutup dan terbatas. Kelilingi S dengan persegi panjang R yang sisi-sisinya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat. Misal f(x, y) terdefinisi dan f(x, y) = 0 pada bagian dari R yang terletak di luar S. Kita katakan f terintegralkan pada S jika dia terintegralkan pada R dan ditulis Integral rangkap  pada himpunan S secara umum memenuhi sifat :  (i) Linier  (ii) Aditif (pada himpunan-himpunan yang berpotongan pada suatu kurva mulus) (iii) Perbandingan 2. Himpunan y Sederhana dan Himpunan x Sederhana A. Himpunan y sederhana S dikatakan himpunan y-sederhana jika terdapat φ₁ dan φ₂ yang kontinu pada [a, b] sedemikian sehingga S = {(x, y): φ₁(x) ≤ y ≤ φ₂(x), a ≤ x ≤ b}. Garis dalam arah sumbu y memotong S pada satu ruas garis atau satu titik atau tidak memotong sama sekali. B. Himpunan x sederhana S dikatakan himpunan x-sederhana jika terdapat ψ₁ dan ψ₂ yang kontinu pada [c, d] sedemikian sehingga S = {(x, y): ψ₁(y) ≤ x ≤ ψ₂(y),...

1. Definisi Jika T: V → W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W, maka T disebut transformasi linear dari V ke W jika untuk setiap vektor u dan v di V dan semua skalar c : (a) T( u + v ) = T( u ) + T( v ) (b) T( c u ) = c T( u ) Dalam kasus khusus di mana V = W, transformasi linear T: V → V disebut operator linear pada V. 2. Transformasi Matriks, Transformasi Nol, Operator Identitas A. Transformasi Matriks Kita akan menyebut transformasi linear dari ℝⁿ ke ℝᵐ sebagai transformasi matriks, karena dapat dilakukan dengan perkalian matriks. B. Transformasi Nol Misalkan V dan W adalah dua ruang vektor sembarang. Pemetaan T: V → W sedemikian sehingga T( v ) = 0 untuk setiap v di V adalah transformasi linear yang disebut transformasi nol. Untuk melihat bahwa T adalah linear, perhatikan bahwa T( u + v ) = 0 , T( u ) = 0 , T( v ) = 0 , dan T( k u ) = 0   Oleh karena itu, T( u + v ) = T( u ) + T( v ) dan T( k u ) = k T( u ) C. Operator Identitas Misalkan V adalah sem...

1. Transformasi Linear Satu-Satu Transformasi linear T: ℝⁿ → ℝᵐ dikatakan satu-satu jika T memetakan vektor (atau titik) yang berbeda di ℝⁿ ke vektor (atau titik) yang berbeda di ℝᵐ. Catatan: Dari definisi ini, kita dapat menyimpulkan bahwa untuk setiap vektor w dalam range (jangkauan) dari suatu transformasi linear satu-satu T, terdapat tepat satu vektor x sedemikian sehingga T( x ) = w . Transformasi linear yang memetakan vektor (atau titik) yang berbeda ke vektor (atau titik) yang berbeda memiliki kepentingan khusus. Salah satu contoh transformasi seperti itu adalah operator linear T: ℝ² → ℝ² yang merotasi setiap vektor melalui sudut θ. Secara geometris jelas bahwa jika u dan v adalah vektor berbeda di ℝ², maka vektor yang dirotasi T( u ) dan T( v ) juga berbeda. 2. Pernyataan yang Ekivalen Misalkan A adalah matriks berukuran n × n, dan kita definisikan transformasi linear T A : ℝⁿ → ℝⁿ sebagai perkalian dengan A. Kita akan menyelidiki hubungan antara invertibilitas matriks ...