Sixty Four Science

1. Ring Umum A . Definisi Sebuah himpunan tak kosong R yang dilengkapi dengan dua operasi biner, penjumlahan (+) dan perkalian (⋅), disebut ring jika memenuhi kondisi-kondisi berikut untuk setiap elemen a, b, c ∈ R: • (R, +) membentuk grup Abel. (i) Tertutup: a + b ∈ R. (ii) Asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c). (iii) Identitas Aditif: Terdapat elemen 0 ∈ R sehingga a + 0 = 0 + a = a. (iv) Invers Aditif: Untuk setiap a ∈ R, terdapat elemen −a ∈ R sehingga a + (−a) = (−a) + a = 0. Elemen −a yang merupakan invers penjumlahan dari a disebut lawan dari a. (v) Komutatif: a + b = b + a. • (R, ⋅) membentuk semigrup. (vi) Tertutup: a ⋅ b ∈ R. (vii) Asosiatif: (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c). • Sifat Distributif: (viii) Operasi perkalian distributif terhadap penjumlahan, baik dari kiri maupun kanan. a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c. (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c. B . Contoh 1. Ingat kembali bahwa (ℝ, +) membentuk grup Abel dan (ℝ, ⋅) membentuk monoid yang berarti merupakan semigrup, selanjutnya perhatikan b...

Aritmatika adalah event tahunan yang diselenggarakan oleh Himpunan Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Dalam Aritmatika jilid XIII terdapat tiga rangkaian acara yaitu Lomba Olimpiade Matematika, Lomba Media Pembelajaran Matematika Tingkat Nasional, dan Lomba Microteching tingkat Nasional. 1. Olimpiade Matematika Lomba ini diperuntukkan bagi siswa SMP, SMA, atau sederajat dari seluruh Indonesia. Lomba ini bersifat individu, tidak berkelompok. Setiap sekolah dibolehkan mengirimkan lebih dari satu delegasi. Timeline untuk olimpiade ini sebagai berikut: 1 s/d 20 Juli 2025: Pendaftaran Gelombang 1, dengan biaya pendaftaran Rp 40.000 untuk SMP dan Rp 45.000 untuk SMA. 21 Juli s/d 10 Agustus 2025: Pendaftaran Gelombang 2, dengan biaya pendaftaran Rp 45.000 untuk SMP dan Rp 50.000 untuk SMA. 11 s/d 24 Agustus 2025: Pendaftaran Gelombang 3, dengan biaya pendaftaran Rp 50.000 untuk SMP dan Rp 55.000 untuk SMA. 31 Agustus 2025: Technical Meeting (Online) 6 Septemb...

1. Titik di Tak Hingga dan Bola Riemann A . Titik Tak Hingga (∞) dan Bidang Kompleks yang Diperluas (ℂ*) Dalam sistem bilangan real, kita mengenal dua titik di tak hingga, yaitu minus tak hingga dan positif tak hingga, yang tidak mewakili bilangan real. Garis real yang dilengkapi dengan kedua titik ini dinamakan garis real diperluas. Berbeda dengan sistem bilangan real, dalam sistem bilangan kompleks, kita hanya mengenal satu titik di tak hingga yang diberi lambang ∞. Agar fungsi w = 1/z mempunyai kawan untuk setiap titik z di bidang kompleks, maka bidang kompleks dilengkapi satu titik tak hingga. Titik tak hingga ini didefinisikan sebagai kawan untuk z = 0. Bidang kompleks yang dilengkapi satu titik tak hingga ini dinamakan bidang kompleks diperluas, yang diberi notasi ℂ*. Melalui fungsi w = 1/z, terjadi korespondensi satu-satu dari ℂ* kepada ℂ*. Khususnya, titik z = 0 berkawankan titik w = ∞ dan titik z = ∞ berkawankan titik w = 0. B . Proyeksi Stereografik dan Bola Riemann Car...

Mengenal Metode Newton-Rafson untuk Mencari Akar Persamaan Metode Newton-Rafson, atau sering disebut metode Newton, adalah salah satu metode yang paling dikenal untuk mencari akar dari sebuah fungsi f(x). Metode ini dikenal sederhana dan cepat, menjadikannya pilihan favorit dalam banyak perhitungan numerik. Apa Kekurangannya? Satu hal yang perlu diperhatikan, metode ini memerlukan turunan dari fungsi, yaitu f'(x), dan juga fungsi aslinya f(x) itu sendiri. Oleh karena itu, metode Newton-Rafson hanya dapat digunakan pada masalah di mana turunan f'(x) mudah dihitung. Cara Kerja Metode Newton-Raphson Metode ini bekerja secara berulang (iterasi) untuk menemukan solusi. Berikut adalah algoritmanya: 1. Pilih Tebakan Awal: Pilih sebuah titik x₁ sebagai tebakan awal dari solusi. 2. Hitung Turunan dan Titik Potong: • Kita mengasumsikan f(x) kontinu dan dapat diturunkan. • Solusi kedua (x₂) ditemukan dengan menggambar garis singgung (tangent) ke f(x) pada titik (x₁, f(x₁)) dan menentukan ...

Metode regula falsi atau false position adalah salah satu cara untuk mencari akar persamaan. Metode ini memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas interval. Mirip dengan metode biseksi, metode ini bekerja secara berulang atau iteratif dengan memperbarui intervalnya. Prinsip dasarnya adalah, di sekitar akar fungsi yang diperkirakan, kita menganggap fungsi tersebut sebagai garis lurus. Titik di mana garis lurus ini memotong garis nol (sumbu x) akan menjadi akar fungsi. Langkah-Langkah Perhitungan 1. Tentukan Persamaan dan Batas Awal • Pertama, tentukan persamaan fungsi yang akan dicari akarnya, yaitu y = f(x), di mana kita mencari nilai x saat f(x) = 0. • Tentukan dua titik awal, A dan B₀. Kedua titik ini harus memiliki tanda yang berbeda, artinya f(A) × f(B₀) < 0. 2. Hitung Titik Potong Pertama (x₁) • Buat garis lurus yang menghubungkan titik A(α, f(α)) dan B₀(x₀, f(x₀)). • Garis ini akan memotong sumbu x di titik P₁(x₁, 0). Nilai x₁ dihitung menggunakan rumus: 3...

1. Muqodimah Ada beberapa cara untuk mencari solusi perkiraan, di antaranya: • Secara Grafis: Ini adalah cara paling sederhana, yaitu dengan menggambar fungsi dan mencari titik potongnya dengan sumbu x. Titik potong ini adalah akar persamaannya. Namun, cara ini menghasilkan hasil yang kasar dan tidak efisien karena sulit untuk menentukan nilai akar yang akurat dari gambar. • Secara Coba Banding: Metode ini dilakukan dengan mencoba nilai x secara acak hingga ditemukan nilai f(x) yang mendekati nol. Prosedur ini diulang terus-menerus. Cara ini juga tidak efisien dan tidak sistematis. Karena cara-cara di atas tidak efisien dan tidak sistematis, dikembangkanlah berbagai metode numerik lain yang memberikan penyelesaian perkiraan secara lebih sistematis untuk mencari akar persamaan. Inti dari metode numerik adalah melakukan iterasi (perulangan hitungan) secara berurutan. Setiap hasil hitungan baru akan lebih teliti dari hasil sebelumnya, sampai akhirnya diperoleh hasil perkiraan yang mendeka...