Sixty Four Science

1. Fungsi Kontinu dan Fungsi Monoton Telah ditunjukkan bahwa fungsi-fungsi yang kontinu atau monoton pada interval tertutup terbatas adalah terintegralkan secara Riemann. Bukti-bukti tersebut menggunakan pendekatan melalui fungsi tangga dan Teorema Apit sebagai alat utamanya. Kedua bukti tersebut menggunakan fakta esensial bahwa baik fungsi kontinu maupun fungsi monoton mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada interval tertutup terbatas. Artinya, jika f adalah fungsi kontinu atau monoton pada [a, b], maka untuk sebuah partisi P = (x₀, x₁, ..., xₙ), angka-angka Mₖ = sup{ƒ(x) : x ∈ Iₖ} dan mₖ = inf{ƒ(x) : x ∈ Iₖ}, k = 1, 2, ..., n, dicapai sebagai nilai fungsi. Untuk fungsi kontinu, ini adalah Teorema Maksimum-Minimum, dan untuk fungsi monoton, nilai-nilai ini dicapai pada titik ujung kanan dan kiri interval tersebut. Jika kita mendefinisikan fungsi tangga ω pada [a, b] dengan ω(x) = Mₖ untuk x ∈ [xₖ₋₁, xₖ) untuk k = 1, 2, ..., n – 1, dan ω(x) = Mₙ untuk x ∈ [xₙ₋₁, xₙ], ma...

1. Integral Atas dan Integral Bawah Kita akan menyatakan kumpulan semua partisi dari interval I dengan ℘(I). Jika f : I → ℝ terbatas, maka setiap 𝒫 dalam ℘(I) menentukan dua angka: L(f; 𝒫) dan U(f; 𝒫). Dengan demikian, kumpulan 𝒫(I) menentukan dua himpunan angka: himpunan jumlah bawah L(f; 𝒫) untuk 𝒫 ∈ ℘(I), dan himpunan jumlah atas U(f; 𝒫) untuk 𝒫 ∈ ℘(I). Oleh karena itu, kita diarahkan pada definisi berikut. A . Definisi Integral Atas dan Integral Bawah Misalkan I = [a, b] dan misalkan f : I → ℝ adalah fungsi terbatas. Integral bawah dari f pada I adalah angka: L(f) = sup{L(f; 𝒫) : 𝒫 ∈ ℘(I)}, dan integral atas dari f pada I adalah angka: U(f) = inf{U(f; 𝒫) : 𝒫 ∈ ℘(I)}. Karena f adalah fungsi terbatas, kita dijamin akan keberadaan angka-angka berikut: m = inf{f(x) : x ∈ I} dan M = sup{f(x) : x ∈ I}. Dapat segera terlihat bahwa untuk setiap 𝒫 ∈ ℘(I), kita memiliki: m(b – a) ≤ L(f; 𝒫) ≤ U(f; 𝒫) ≤ M(b – a). Maka dari itu: m(b – a) ≤ L(f) dan U(f) ≤ M(b – a). B . Hubungan I...

1. Jumlah Atas dan Jumlah Bawah A . Partisi Jika I = [a, b] adalah interval tertutup dan terbatas di R, maka partisi dari I adalah set berurutan hingga P = (x₀, x₁, ..., xₙ₋₁, xₙ) dari titik-titik di I sedemikian sehingga: a = x₀ < x₁ < ... < xₙ₋₁ < xₙ = b Titik-titik dari P digunakan untuk membagi I = [a, b] menjadi sub-interval yang tidak tumpang tindih: I₁ = [x₀, x₁], I₂ = [x₁, x₂], ..., Iₙ = [xₙ₋₁, xₙ] B . Jumlah Atas dan Jumlah Bawah Misalkan ƒ : I → ℝ adalah fungsi terbatas pada I = [a, b] dan misalkan 𝒫 = (x₀, x₁, . . . , xₙ) adalah partisi dari I. Untuk k = 1, 2, ..., n kita tetapkan mₖ = inf{ƒ(x) : x ∈ [xₖ₋₁, xₖ]}, Mₖ = sup{ƒ(x) : x ∈ [xₖ₋₁, xₖ]}. Jumlah bawah dari ƒ yang bersesuaian dengan partisi 𝒫, disimbolkan L(ƒ; 𝒫), didefinisikan sebagai dan jumlah atas dari ƒ yang bersesuaian dengan partisi 𝒫, disimbolkan U(ƒ; 𝒫), didefinisikan sebagai Jika ƒ adalah fungsi positif, maka jumlah bawah L(ƒ; 𝒫) dapat diinterpretasikan sebagai luas dari gabungan persegi pan...

1. Teorema Fundamental Kalkulus Bentuk Pertama Bentuk Pertama dari Teorema Fundamental memberikan dasar teoritis untuk metode penghitungan integral yang telah dipelajari Sixtyfourians dalam kalkulus. Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu fungsi f adalah turunan dari fungsi F, dan jika f termasuk dalam ℛ[a, b], maka integral f pada [a, b] dapat dihitung dengan cara evaluasi F(b) – F(a). Fungsi F sedemikian sehingga F'(x) = f(x) untuk semua x ∈ [a, b] disebut sebagai antiturunan atau primitif dari f pada [a, b]. Jadi, ketika f memiliki antiturunan, menghitung integralnya menjadi hal yang sangat sederhana. Dalam praktiknya, lebih mudah untuk mengijinkan beberapa titik pengecualian c di mana F'(c) tidak ada dalam ℝ, atau di mana F'(c) tidak sama dengan f(c). Ternyata kita dapat mengijinkan sejumlah hingga titik pengecualian tersebut. Berikut ini teorema fundamental kalkulus bentuk pertama: Misalkan ada himpunan hingga E dalam [a, b] dan fungsi f, F : [a, b] → ℝ sedemikian seh...

1. Kriteria Fungsi Terintegral Riemann A . Kriteria Cauchy Sebuah fungsi: [a, b] → ℝ termasuk dalam ℛ[a, b] jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat η > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ dan Q̇ adalah sebarang partisi bertanda dari [a, b] dengan ‖Ṗ‖ < η dan ‖Q̇‖ < η, maka |S(f; Ṗ) – S(f; Q̇)| < ε. Bukti: (⇒) Jika f ∈ ℛ[a, b] dengan integral L, misalkan η = δ > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ, Q̇ adalah partisi bertanda sedemikian sehingga ‖Ṗ‖ < η dan ‖Q̇‖ < η, maka: |S(f; Ṗ) – L| < ε/2 dan |S(f; Q̇) – L| < ε/2. Oleh karena itu kita memiliki: |S(f; Ṗ) – S(f; Q̇)| = |S(f; Ṗ) – L + L – S(f; Q̇)| ≤ |S(f; Ṗ) – L| + |L – S(f; Q̇)| < ε/2 + ε/2 = ε. (⇐) Untuk setiap n ∈ ℕ, misalkan δₙ > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ dan Q̇ adalah partisi bertanda dengan norma < δₙ, maka: |S(f; Ṗ) – S(f; Q̇)| < 1/n. Jelas kita dapat mengasumsikan bahwa δₙ ≥ δₙ₊₁ untuk n ∈ ℕ; jika tidak, kita ganti δₙ dengan δ'ₙ = min{δ₁, ..., δₙ}. Untuk setiap n ∈ ℕ, m...