Sixty Four Science

Ingat kembali turunan fungsi trigonometri: Proses balik dari turunan tersebut adalah: Yang menjadi pertanyaan adalah integral dari fungsi trigonometri selain sinus dan kosinus, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan substitusi. Integral dari fungsi tanx adalah: Integral dari cotx adalah: Integral dari secx adalah: Integral dari cscx adalah: All in One integral fungsi trigonometri: Lalu bagaimana dengan fungsi trigonometri yang dikuadratkan selain sec 2 x dan csc 2 x? pertanyaan ini muncul dari integral fungsi trigonometri yang dikuadratkan untuk secx dan cscx. Integral dari fungsi  tan 2 x adalah: Integral dari  cot 2 x  adalah: Integral dari  sin 2 x  adalah: Integral dari  cos 2 x  adalah: All in One fungsi trigonometri yang dikuadratkan: Contoh soal dan pembahasan: contoh lainnya

1. Aturan Pangkat yang Diperumum Misal g suatu fungsi yang dapat diturunkan dan r ≠ -1, berlaku: ∫[g(x)] r .g'(x) dx = [g(x)] r+1 /(r + 1) + C untuk r = -1 berlaku: contoh: 2. Substitusi Integral Tak Tentu Misal g suatu fungsi yang dapat diturunkan, F suatu antiturunan dari f, dan u = g(x), berlaku: ∫f(g(x)).g'(x) dx = ∫f(u) du = F(u) + C = F(g(x)) + C 3. Aturan Pangkat Fungsi Linear Misalkan suatu fungsi linear dipangkatkan dengan r, r ≠ -1 berlaku: Untuk r = -1 berlaku: 4. Substitusi Fungsi Linear Misalkan F suatu antiturunan dari f, berlaku:

Jika diperhatikan dengan seksama, maka untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear, cukup diperhatikan koefisien dari masing-masing variable. Misalkan: x 1 + 2x 2 + x 3 = 8 (i) 2x 1 + x 2 – x 3 = 1 (ii) 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 10 (iii) Oleh karena itu untuk menyelesaikan sistem persamaan linear seperti di atas, dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:   1 2 1 8     2 1 -1 1     3 2 1 10   Bentuk seperti ini dinamakan matriks augmentasi (augmented matrix form). Eliminasi Gauss Matriks augmentasi di atas dapat dilakukan OBE (operasi baris elementer) sebagai berikut: R 2 = R 2 – 2R 1 , R 3 = R 3 – 3R 1 menjadi:   1 2 1 8     0 -3 -3 -15  ...

1. Fungsi Nol ∫0 = C, untuk suatu C konstanta real karena turunan dari C = 0 2. Fungsi Pangkat Jika r sebarang bilangan real, r ≠ -1, maka: ∫x r dx = x r+1 /(r + 1) + C ∫a dx = ax + C, (r = 0) sedangkan untuk r = -1, berlaku: ∫x -1  dx = ∫(1/x) dx = ln|x| + C 3. Sifat-Sifat Dasar Integral Misalkan f dan g mempunyai antiturunan dan k suatu konstanta, maka: a) Konstanta ∫k.f(x) dx = k.∫f(x) dx b) Jumlah dan Selisih ∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫f(x) dx Catatan: tidak ada perkalian dan pembagian integral Contoh soal dan pembahasan

Operasi balikan sering kali diperlukan untuk menyelesaikan permasalahan. Untuk menyelesaikan permasalahan yang melibatkan turunan diperlukan operasi kebalikan dari pendiferensiasian yang disebut antidiferensiasi atau integrasi. Definisi antiturunan: "Suatu fungsi F disebut antiturunan dari fungsi f pada interval I jika F'(x) = f(x) untuk semua x dalam I". contoh: Misalkan F(x) = x 4 , f(x) = 4x 3 , turunan F adalah: F'(x) = 4.x 4–1 = 4x 3 = f(x) F merupakan antiturunan dari f karena turunan F adalah f Teorema: "Jika F merupakan antiturunan dari f pada interval I, maka untuk setiap konstanta C fungsi F(x) + C juga merupakan antiturunan pada interval tersebut". Mengapa demikian? karena turunan dari konstanta sama dengan 0, sehingga fungsi-fungsi yang hanya berbeda konstantanya (misal F(x), F(x) + 1, F(x) + 2, dll) memiliki turunan yang sama (yaitu f), dengan kata lain fungsi-fungsi tersebut merupakan antiturunan dari fungsi f. Selanjutnya, setiap antiturunan...

• Bola adalah tempat kedudukan titik-titik dalam ruang yang berjarak sama terhadap titik tertentu. • Titik tertentu tsb disebut pusat bola, ruas garis dari pusat ke titik pada bidang bola disebut jari-jari (jejari). Jarak tertentu tersebut disebut panjang jari-jari bola. • Semua ruas garis penghubung dua titik pada bola yang melalui pusat disebut diameter (garis tengah). • Tembereng bola • Juring bola, yang dapat dipandang sebagai gabungan sebuah tembereng bola dan sebuah kerucut beralas lingkaran alas tembereng. • Tinggi tembereng mengindikasikan tinggi juring tersebut. • Jika sebuah bola dipotong oleh dua bidang sejajar, maka bangun di antara kedua bidang sejajar disebut keratan bola. • Bidang lingkarannya masing-masing dinamakan bidang atas dan bidang alas keratan bola tersebut. Tambahan: Tidak ada jaring-jaring bola

• Jika garis c adalah sebuah lingkaran dan proyeksi titik T berimpit dengan pusat lingkarannya (titik P), maka diperoleh bidang kerucut lingkaran tegak, dan selanjutnya hanya dibahas yang berdaun tunggal. • Garis TP disebut sumbu kerucut • Jika dibuat sebuah bidang yang memotong bidang kerucut secara tegak lurus TP, maka diperoleh sebuah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang kerucut lingkaran tegak dan sebuah bidang lingkaran yang tegak lurus sumbu kerucut. Bangun ruang ini disebut kerucut lingkaran tegak, dan selanjutnya disebut kerucut. • Garis g adalah garis pelukis kerucut. Jaring-Jaring Kerucut Jaring-jaring kerucut terdiri dari juring lingkaran besar; dan lingkaran kecil. Juring lingkaran besar merupakan selimut kerucut, panjang busur sama dengan keliling alas kerucut, jari-jari lingkaran besar sama dengan panjang garis pelukis kerucut. Lingkaran kecil merupakan alas kerucut.

• Diketahui garis g // s dan tegak lurus bidang pemuat kurva tertutup c. Garis g dijalankan dengan selalu sejajar s sekeliling c. • Tempat kedudukan g adalah sebuah bidang lengkung yang disebut bidang tabung • Garis g disebut garis pelukis. • Jika c berupa lingkaran dan s melalui pusat lingkaran, maka s disebut sumbu tabung. • Jika bidang tabung tersebut dipotong oleh dua bidang sejajar dan keduanya tegak lurus sumbu tabung, maka diperoleh bangun ruang yang dibatasi oleh bidang tabung dan kedua bidang lingkaran, yang disebut tabung lingkaran tegak, untuk selanjutnya disebut tabung atau silinder. • Bidang-bidang lingkaran pembatasnya disebut bidang atas dan bidang alas tabung, yang jari-jarinya disebut juga sebagai jari-jari tabung. • Jarak antara bidang atas dan alas disebut tinggi tabung. • Bidang sisi tegak sebuah tabung berupa bidang lengkung, dan disebut juga selimut tabung. Jaring-jaring Tabung Jaring-jaring tabung terdiri dari 2 lingkaran yang merupakan sisi alas dan sisi atas ta...

Misalkan titik P terletak pada segmen garis AB dan Q pada perpanjangan AB rombongan 4 titik tersebut merupakan rombongan 4 titik yang harmonis jika PA/PB = QA/QB P disebut titik harmonis ke-4 dari Q terhadap A dan B A disebut titik harmonis ke-4 dari B terhadap P dan Q Cara untuk mengkonstruksi titik P adalah: 1. Buat titik A, B, Q kolinear 2. Buat sebarang garis melalui A, tentukan sebarang titik pada garis tersebut (misalkan titik F), lalu hubungkan F dengan Q 3. Buat garis sejajar AF melalui B, memotong FQ di E 4. Tentukan titik D pada garis BE sehingga BD = BE 5. Hubungkan D dengan F, memotong AB di P Perhatikan segitiga AFQ dan BEQ (i) ∠AFQ = ∠BEQ karena sehadap (ii) ∠FAQ = ∠EBQ karena sehadap (iii) ∠AQF = ∠BQE karena berhimpit ∆AFQ ~ ∆BEQ, dari kesebangunannya diperoleh perbandingan QA/QB = BE/AF Perhatikan segitiga AFP dan BDP (i) ∠AFP = ∠BDP karena dalam berseberangan (ii) ∠FAP = ∠DBP karena dalam berseberangan (iii) ∠APF = ∠BPD karena ber...

1. Limas Segitiga 2. Limas Segiempat 3. Limas Segilima

Dalam menggambar benda geometri (bangun ruang) diperlukan beberapa definisi : • Bidang gambar : bidang permukaan dimana kita menggambarkan benda tersebut.  • Bidang Frontal : Bidang gambar atau bidang yang sejajar dengan bidang gambar. • Garis Frontal : garis yang terletak pada bidang frontal • Bidang orthogonal : bidang yang tegak lurus dengan bidang frontal • Garis orthogonal : garis yang tegak lurus dengan bidang frontal • Sudut menyisi (sudut surut) : sudut dalam bidang gambar yang dibentuk antara garis orthogonal dan bidang fontal • Perbandingan proyeksi : perbandingan antara panjang ruas garis ortogonal dalam gambar dengan panjang ruas garis tersebut dalam ukuran yang sesungguhnya. Contoh: A. Gambar Kubus ABCD.EFGH jika panjang rusuknya 3 cm, dengan bidang ABFE frontal dan AB horisontal, sudut surut 45° dan perbandingan proyeksi adalah 0.5 Langkah-langkah sebagai berikut: 1. Buat segmen AB dengan panjang 3 cm 2. Buat bidang frontal ABFE 3. Buat bidang orthogonal ABCD a. Buat ...