Sixty Four Science

1. Transformasi Linear Surjektif Misalkan V dan W adalah ruang vektor real. Kita katakan bahwa transformasi linear T: V  →  W adalah onto jika range dari T adalah W, artinya, jika untuk setiap w dalam W, terdapat suatu v dalam V sedemikian sehingga T( v ) = w Transformasi onto juga disebut surjektif atau surjeksi. Untuk pemetaan surjektif, maka range dan kodomain bertepatan. Pertimbangkan proyeksi P: ℝ³ → ℝ² yang didefinisikan oleh P(x, y, z) = (x, y). Ini adalah pemetaan onto, karena jika w = (x, y) adalah sebuah titik dalam ℝ², maka v = (x, y, 0) dipetakan ke sana. (Tentu saja, begitu juga dengan tak terhingga banyak titik lain dalam ℝ³.) Pertimbangkan transformasi Q: ℝ³ → ℝ³ yang didefinisikan oleh Q(x, y, z) = (x, y, 0). Ini pada dasarnya sama dengan p kecuali kita menganggap hasilnya sebagai vektor dalam ℝ³ daripada vektor dalam ℝ². Pemetaan ini bukan onto, karena misalnya, titik (1, 1, 1) dalam kodomain bukan merupakan bayangan dari v apa pun dalam domain. 2. Transfo...

Jika kita tuliskan persamaan paraboloid hiperbolik dalam bentuk: maka kedua sistem garis lurus dan terletak pada paraboloid tersebut. Untuk setiap harga 𝜆, diperoleh satu garis lurus pada himpunan garis lurus (A), dan untuk setiap 𝜇, diperoleh satu garis lurus pada himpunan garis lurus (B). Dengan mengubah-ubah 𝜆 dan 𝜇 diperoleh garis-garis lurus yang membentuk paraboloid hiperbolik tersebut. Kedua himpunan (A) dan (B) di atas disebut sistem garis lurus pembentuk. Beberapa sifat: a. Setiap titik pada paraboloid hiperbolik dilalui oleh satu garis lurus dari sistem (A) dan satu garis lurus dari (B). b. Dua garis lurus dari sistem yang sama, tidak berpotongan. c. Dua garis lurus dari sistem yang berbeda, akan berpotongan. Contoh: Tentukan persamaan garis pelukis paraboloida hiperbolik x² – y² = 2z yang menyinggung bola x² + y² + z² = 1. Faktorkan x² – y² = 2z menjadi (x – y)(x + y) = 2z Sistem A: x – y = 𝜆z, 2 = 𝜆(x + y) Sistem B: x – y = 2𝜇, z = 𝜇(x + y) Dari sistem...

1. Bidang Kutub Paraboloid dari Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) diluar Hiperboloid yang Puncaknya di O(0, 0, 0) Misal titik P( x 1 , y 1 , z 1 ) diluar paraboloid hiperbolik yang berpusat di O(0, 0, 0), misal dibuat bidang singgung paraboloid melalui P dan misal Q( x 0 , y 0 , z 0 ) adalah salahsatu titik singgungnya, persamaan bidang singgung tersebut: karena bidang singgung ini melalui P, berlaku: Dari sini dapat kita lihat, bahwa koordinat-koordinat  x 0 , y 0 , z 0  dari titik-titik singgung dari bidang-bidang singgung yang dibuat dari P( x 1 , y 1 , z 1 ) pada paraboloid, memenuhi pada persamaan: Jadi titik-titik singgungnya semuanya terletak pada bidang datar yang dinyatakan oleh persamaan ini. Bidang ini dinamakan bidang kutub. 2. Bidang Kutub Paraboloid dari Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) diluar Paraboloid yang Puncaknya di  M ( a, b, g ) Misal suatu paraboloid puncaknya di O(0, 0, 0), puncaknya...

1. Bidang Singgung Paraboloid di Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) pada Paraboloid yang Puncaknya di O(0, 0, 0) CALCULUS REQUIRED! •  Suatu paraboloid hiperbolik umumnya memiliki persamaan: •  Buat ruas kanan menjadi 0 • Persamaan ini sudah dalam bentuk f(x, y, z) = 0. Gradien garis singgung dapat ditentukan menggunakan turunan parsial pertama, yaitu: f x (x, y, z) = 2x/a²,      f y (x, y, z) = –2y/b²,    f z (x, y, z) = –2p/a² Gradiennya adalah (2x/a², –2y/b², –2p/a²), sederhanakan menjadi (x/a², –y/b², –p/a²) • Misal titik  P( x 1 , y 1 , z 1 ) terletak pada paraboloid hiperbolik, gradiennya menjadi  ( x 1 /a², –y 1 /b², –p/a²) • Persamaan bidang melalui  P( x 1 , y 1 , z 1 ) dengan bilangan arah  ( x 1 /a², –y 1 /b², –p/a²): • Karena  P( x 1 , y 1 , z 1 ) terletak pada paraboloid hiperbolik, persamaannya menjadi: Bentuk terakhir ini adalah persamaan bidang singgung paraboloid hiperbolik mel...

1. Persamaan Paraboloid dengan Puncak O(0, 0, 0) Misal di bidang XOZ terdapat parabola y = 0, x² = 2pz. Suatu hiperbola sejajar dengan bidang XOY, sehingga titik pusatnya tepat pada sumbu z, puncak-puncaknya yang sejati terletak pada parabola dan perbandingan sumbu-sumbunya adalah konstan a : b. Dengan cara yang sama seperti pada elipsoid kita temukan persamaan bidang yang dilalui oleh hiperbola yang bergerak itu: Permukaan ini disebut sebagai paraboloid hiperbolik. Keterangan: • Paraboloid ini memiliki 2 bidang simetri, yaitu XOZ, dan YOZ • Paraboloid ini memiliki 3 sumbu simetri, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z • Paraboloid ini memiliki 1 titik puncak, yaitu (0, 0, 0). Bidang XOY menyinggung paraboloid di titik puncak ini. Secara analog, kita juga dapat menentukan persamaan paraboloid hiperbolik untuk bentuk lainnya: 2. Persamaan Paraboloid Elliptik dengan Puncak M( a, b, g ) Misal suatu paraboloid hiperbolik berpuncak di O(0, 0, 0), puncaknya digeser ke M( a, ...

1. Bidang Kutub Paraboloid dari Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) diluar Hiperboloid yang Puncaknya di O(0, 0, 0) Misal titik P( x 1 , y 1 , z 1 ) diluar paraboloid elliptik yang berpusat di O(0, 0, 0), misal dibuat bidang singgung paraboloid melalui P dan misal Q( x 0 , y 0 , z 0 ) adalah salahsatu titik singgungnya, persamaan bidang singgung tersebut: karena bidang singgung ini melalui P, berlaku: Dari sini dapat kita lihat, bahwa koordinat-koordinat  x 0 , y 0 , z 0  dari titik-titik singgung dari bidang-bidang singgung yang dibuat dari P( x 1 , y 1 , z 1 ) pada paraboloid, memenuhi pada persamaan: Jadi titik-titik singgungnya semuanya terletak pada bidang datar yang dinyatakan oleh persamaan ini. Bidang ini dinamakan bidang kutub. 2. Bidang Kutub Paraboloid dari Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) diluar Paraboloid yang Puncaknya di  M ( a, b, g ) Misal suatu paraboloid puncaknya di O(0, 0, 0), puncaknya d...

1. Bidang Singgung Paraboloid di Titik P( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) pada Paraboloid yang Puncaknya di O(0, 0, 0) CALCULUS REQUIRED! •  Suatu paraboloid elliptik umumnya memiliki persamaan: •  Buat ruas kanan menjadi 0 • Persamaan ini sudah dalam bentuk f(x, y, z) = 0. Gradien garis singgung dapat ditentukan menggunakan turunan parsial pertama, yaitu: f x (x, y, z) = 2x/a²,      f y (x, y, z) = 2y/b²,    f z (x, y, z) = –2p/a² Gradiennya adalah (2x/a², 2y/b², –2p/a²), sederhanakan menjadi (x/a², y/b², –p/a²) • Misal titik  P( x 1 , y 1 , z 1 ) terletak pada paraboloid elliptik, gradiennya menjadi  ( x 1 /a², y 1 /b², –p/a²) • Persamaan bidang melalui  P( x 1 , y 1 , z 1 ) dengan bilangan arah  ( x 1 /a², y 1 /b², –p/a²): • Karena  P( x 1 , y 1 , z 1 ) terletak pada paraboloid elliptik, persamaannya menjadi: Bentuk terakhir ini adalah persamaan bidang singgung paraboloid elliptik melalui titik...

SIMAK adalah acara rutin mahasiswa Pendidikan Matematika UNS yang diadakan setiap musim UTS dan UAS. SIMAK merupakan singkatan dari diskuSI MAtaKuliah, sesuai dengan namanya, acara ini merupakan acara diskusi mahasiswa dimana para mahasiswa mendiskusikan dan membahas soal UTS dan UAS tahun sebelumnya. Pada semester Agustus 2024 - Januari 2025, matakuliah Kalkulus Differensial terbagi menjadi 3 kelas: • Kelas A dan Kelas C, yang diampu oleh Bu Dyah • Kelas B, yang diampu oleh Pak Dhidhi Pada semester Agustus 2024 - Januari 2025, matakuliah Geometri Datar terbagi menjadi 3 kelas: • Kelas A, yang diampu oleh Bu Farida • Kelas B, yang diampu oleh Pak Topo • Kelas C, yang diampu oleh Bu Yuli Pada semester Agustus 2024 - Januari 2025, matakuliah Kalkulus Peubah Banyak terbagi menjadi 3 kelas: • Kelas A, yang diampu oleh Bu Dyah • Kelas B, yang diampu oleh Pak Rubono • Kelas C, yang diampu oleh Pak Ponco Pada semester Agustus 2024 - Januari 2025, matakuliah Geometri Analitik Ruang terbagi men...