Sixty Four Science

1. Homomorfisma Grup A . Definisi Homomorfisma Grup dan Contoh-Contoh Misalkan (G, ·) dan (H, ∗) dua grup. Fungsi φ dari G ke H kita namakan suatu homomorfisma grup jika φ mengawetkan operasi, yaitu memenuhi (∀g₁, g₂ ∈ G). φ(g₁ · g₂) = φ(g₁) ∗ φ(g₂) Berikut ini beberapa contoh: 1. Fungsi eksponensial f(x) = aˣ, dengan a ≠ 1 dan a > 0, merupakan homomorfisma grup dari (ℝ, +) ke (ℝ⁺, ·), dimana berlaku sifat keawetan berikut: f(u + v) = aᵘ⁺ᵛ = aᵘaᵛ = f(u)·f(v) 2. Fungsi logaritma alam, yaitu ln(x) yang merupakan invers dari eˣ, merupakan homomorfisma grup dari (ℝ⁺, ·) ke (ℝ, +), dimana berlaku ln(uv) = u + v. 3. Fungsi τ dari (ℂ, +) ke (ℝ², +) dengan τ(c) = τ(a + bi) = (a, b), untuk setiap c ∈ ℂ merupakan homomorfisma grup. 4. Fungsi d dari (GL₂(ℝ), ·) ke (R\{0}, ·)  dengan d(A) = det(A) merupakan homomorfisma grup, dimana det(AB) = det(A)det(B). B . Kasus Khusus Homomorfisma Grup Berikut ini nama-nama kasus khusus homomorfisma grup: • Homomorfisma yang memetakan ke...

1. Proses Pembentukan Grup Faktor / Grup Kuosien Diberikan subgrup normal H di dalam grup (G, *). Koset-koset kiri H dihimpun dalam himpunan berikut: G/H = {aᵢH | aᵢ ∈ G, i ∈ I} dengan I himpunan indeks. Pada himpunan G/H didefinisikan operasi sebagai berikut: aᵢH * aⱼH = (aᵢ * aⱼ)H untuk sebarang aᵢH, aⱼH ∈ G/H. Himpunan (G/H, *) membentuk grup. Bukti: • Ketertutupan Ambil sebarang aH, bH ∈ G/H; a, b ∈ G; H ◁ G. aH * bH = (a * b)H, karena a*b ∈ G, maka (a * b)H ∈ G/H. • Asosiatif Ambil sebarang aH, bH, cH ∈ G/H; a, b, c ∈ G; H ◁ G. (aH * bH) * cH = (a * b)H * cH = ((a * b)*c)H = (a*(b * c))H = aH * (bH * cH). • Identitas Perhatikan bahwa e elemen identitas di G dan koset eH adalah elemen netral di G/H, karena untuk setiap koset kiri aᵢH ∈ G/H berlaku eH * aᵢH = (e * aᵢ)H = aᵢH. • Invers Untuk setiap a ∈ G, inversnya yaitu a⁻¹ juga berada di G. Koset a⁻¹H merupakan invers koset aH karena aH * a⁻¹H = (a * a⁻¹)H = eH. Jadi terbukti bahwa G/H merupakan grup. □ 2. Definisi Grup Faktor / Gr...

1. Pemanfaatan Teknologi dalam Pembelajaran Matematika: Dari Petualangan Nyata hingga Pengalaman Imersif A . Informasi Kegiatan Pada hari Rabu, 25 Juni 2025, pukul 13:00 WIB sampai dengan selesai, diselenggarakan Webinar Pendidikan dengan judul: "Pemanfaatan Teknologi dalam Pembelajaran Matematika: Dari Petualangan Nyata hingga Pengalaman Imersif" Webinar ini diselenggarakan oleh Program Studi S2 Pendidikan Matematika UNS. Narasumber webinar ini adalah Dr. rer. nat. Adi Nur Cahyono, M.Pd., Associate Professor in Mathematics Educational Media, Universitas Negeri Semarang (UNNES). B . Daftar Topik Narasumber memaparkan strategi inovasi pembelajaran matematika melalui pemanfaatan teknologi, mengubah pembelajaran matematika dari biasa menjadi luar biasa. Topik yang dibahas mencakup: 1. Mobile Math Trails: Proyek yang dikoordinasikan oleh Dr. Adi Nur Cahyono di UNNES, bertujuan untuk berbagi matematika dengan publik, khususnya siswa, melalui tugas matematika yang disiapkan di jalu...

1. Subgrup Normal Diberikan grup G dengan H merupakan subgrup dari G. Subgrup H disebut subgrup normal jika untuk setiap g di G berlaku gH = Hg. Jika H adalah subgrup normal dari G, kita dapat menulisnya sebagai H ◁ G. Cukup mudah dimengerti bahwa semua subgrup dari grup Abel merupakan subgrup normal. Adapun subgrup dari grup non-Abel bisa jadi subgrup normal, bisa jadi bukan subgrup normal. Selanjutnya, grup non-Abel yang semua subgrupnya merupakan subgrup normal disebut sebagai grup Hamilton. 2. Koset Konjugat Banyaknya koset kiri maupun koset kanan tidak selalu berhingga. Ada kalanya banyak koset-koset tersebut tak hingga. Tentu tidak mudah untuk mengetahui semua koset kiri maupun kanan sebelum menentukan sebuah subgrup merupakan subgrup normal. Perhatikan notasi berikut: gHg⁻¹ = {ghg⁻¹ | h ∈ H}. A . Pengecekan subgrup normal yang dipermudah Diberikan grup G dan sebarang subgrup H di G. Subgrup H merupakan subgrup normal jika dan hanya jika untuk setiap elemen g di G berlaku gHg⁻¹ ⊆...

1. Indeks Subgrup Koset-koset kanan dari U dalam G memiliki kardinalitas yang sama, yaitu sebanyak elemen di U. Banyaknya elemen suatu grup G disebut sebagai orde G, ditulis o(G). Dengan demikian, kardinalitas setiap koset kanan dari U dalam G adalah o(U). Didefinisikan indeks U di G, ditulis |G : U|, sebagai banyaknya koset kanan dari U dalam G. Untuk subgrup trivial kita memiliki |G : {e}| = o(G) dan |G : G| = 1. 2. Teorema Lagrange Misalkan G grup hingga. Maka o(G) = |G:U| ⋅ o(U). Bukti: Kita lihat bahwa himpunan semua koset kanan dari U dalam G membentuk partisi pada G. Maka orde G sama dengan banyaknya elemen dalam gabungan semua koset kanan. Terdapat |G:U| koset kanan yang masing-masing mempunyai kardinalitas o(U). Karena koset-koset kanan tersebut sepasang-sepasang saling lepas, maka banyaknya unsur dalam gabungan semua koset kanan adalah |G:U| ⋅ o(U). Jadi, o(G) = |G:U| ⋅ o(U). ■ Tambahan: Dari teorema Lagrange ini kita mengetahui bahwa orde dari subgrup membagi habis orde dari...

1. Koset Kiri dan Koset Kanan Misal H subgrup dari G dan g ∈ G. Didefinisikan dua himpunan sebagai berikut: gH = {gh | h ∈ H} dan Hg = {hg | h ∈ H}. Menurut definisi ini, gH disebut koset kiri dan Hg disebut koset kanan. Sebagai contoh perhatikan (3ℤ, +) yang merupakan subgrup dari (ℤ, +): 0 + 3ℤ = {..., –6, –3, 0, 3, 6, ...} 1 + 3ℤ = {..., –5, –2, 1, 4, 7, ...} 2 + 3ℤ = {..., –4, –1, 2, 5, 8, ...} 3 + 3ℤ = {..., –3, 0, 3, 6, 9, ...} 4 + 3ℤ = {..., –2, 1, 4, 7, 10, ...} Kita amati bahwa 0 + 3ℤ = 3 + 3ℤ dan 1 + 3ℤ = 4 + 3ℤ. Jika diteruskan akan diperoleh: 0 + 3ℤ = 3 + 3ℤ = 6 + 3ℤ = ... 1 + 3ℤ = 4 + 3ℤ = 7 + 3ℤ = ... 2 + 3ℤ = 5 + 3ℤ = 8 + 3ℤ = ... Kita peroleh bahwa 3ℤ memiliki 3 koset kiri berbeda pada (ℤ, +). 2. Relasi Ekivalen Pembangkit Koset A . Relasi ekivalen pembangkit koset kanan Misalkan U subgrup dari G. Misal diambil relasi R = {(u, v) ∈ G × G: uv⁻¹ ∈ U}. Misalkan g unsur G yang tetap. Misalkan a ∈ [g] sebarang. Maka ag⁻¹ ∈ U, artinya ag⁻¹ = u, untuk suatu u ∈ U. Maka a = ug....

1. Definisi dan Contoh A . Definisi Relasi Misalkan S suatu himpunan tak kosong dan misalkan pula R suatu subset tak kosong dari hasil kali kartesius S×S. Secara umum kita katakan bahwa R adalah suatu relasi pada S. B . Relasi Ekivalen Relasi R adalah relasi ekivalen pada S jika memenuhi ketiga sifat berikut: 1. Refleksif (a, a) ∈ R, untuk semua a ∈ S 2. Simetris Jika (a, b) ∈ R, maka (b, a) ∈ R, untuk semua a, b ∈ S 3. Transitif Jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk semua a, b, c ∈ S. Jika (a,b) unsur suatu relasi ekuivalen, kita katakan bahwa a ekuivalen dengan b. C . Contoh Berikut ini beberapa contoh: 1. Relasi "=" merupakan relasi ekivalen. 2. Relasi "≤" dan "≥" bukan relasi ekivalen karena tidak simetris. 3. Relasi "<" dan ">" bukan relasi ekivalen karena tidak refleksif. 4. Kekongruenan modulo m pada aritmetika modular merupakan relasi ekivalen. 2. Poset (Relasi Terurut) A . Poset Tidak Tegas Relasi R adala...

1. Definisi dan Contoh A . Definisi Grup Abel Grup (G, *) dengan operasi * pada G bersifat komutatif disebut grup Abel. Penamaan ini disandarkan pada seorang matematikawan dari Norwegia, yaitu Niels Henrik Abel (1802 - 1829). B . Contoh-Contoh Berikut ini beberapa contoh: 1. Himpunan-himpunan ℤ, ℚ, dan ℝ terhadap operasi penjumlahan membentuk grup Abel. 2. Himpunan {–1, 1}, ℚ\{0}, dan ℝ\{0} terhadap operasi perkalian membentuk grup Abel. 3. Subgrup rotasi dari grup dihedral membentuk grup Abel. 4. {e} membentuk grup Abel. 2. Komutator dan Pemusat A . Komutator Diberikan a, b ∈ G. Kita definisikan komutator dari a dan b, ditulis [a, b], sebagai aba⁻¹b⁻¹. Dengan pengertian ini, G adalah grup Abel jika dan hanya jika (∀a, b ∈ G). [a, b] = e. Perlu diketahui bahwa himpunan semua komutator tidak selalu membentuk subgrup, karena hasil kali dua komutator belum tentu komutator. B . Pemusat Diberikan p ∈ G. Kita definisikan pemusat dari p, ditulis C(p), sebagai {a ∈ G | pa = ap}. Denga...