Sixty Four Science

1. Homomorfisma Ring A . Definisi Homomorfisma Ring Misal diberikan ring (R, +, ×) dan (S, ⊕, ⊗). Fungsi f: R → S disebut homomorfisma ring jika berlaku: (∀a, b ∈ R). f(a + b) = f(a) ⊕ f(b) ∧ f(a × b) = f(a) ⊗ f(b). Dengan kata lain, homomorfisma ring adalah fungsi yang memetakan dari ring ke ring dan mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian. Catatan: R dan S boleh merupakan himpunan yang sama dan boleh juga merupakan himpunan yang berbeda. Operasi penjumlahan dan perkaliannya juga boleh sama, dan boleh juga berbeda. B . Contoh Homomorfisma Ring 1. Fungsi nol merupakan homomorfisma ring, karena jelas bahwa f(a + b) = 0 = 0 + 0 = f(a) + f(b), dan f(ab) = 0 = 0·0 = f(a)f(b) 2. Fungsi identitas merupakan homomorfisma ring. Misal diberikan ring R dan S dengan R subring dari S. Misal didefinisikan fungsi identitas dari R ke S, akan berlaku: f(a + b) = a + b = f(a) + f(b), dan f(ab) = ab = f(a)f(b) Catatan: Fungsi nol dan fungsi identitas disebut sebagai homomorfisma trivi...

1. Ideal A . Ideal Kanan, Ideal Kiri, dan Ideal Subring S dari ring R disebut: • Ideal kanan dari ring R jika berlaku (∀a ∈ S)(∀r ∈ R). ar ∈ S • Ideal kiri dari ring R jika berlaku (∀a ∈ S)(∀r ∈ R). ra ∈ S • Ideal dari ring R jika merupakan ideal kanan dan ideal kiri sekaligus, (∀a ∈ S)(∀r ∈ R). ar, ra ∈ S Dengan kata lain ideal kanan adalah subring yang tertutup terhadap perkalian kanan, ideal kiri adalah subring yang tertutup terhadap perkalian kiri, dan ideal dari R adalah subring yang tertutup terhadap perkalian dengan elemen-elemen R. Catatan: Tentunya mudah untuk dimengerti bahwa di dalam ring komutatif semua idealnya dua sisi sekaligus dan tidak ada ideal satu sisi. B . Ideal Trivial, Tak Sejati, dan Sejati Setiap ring R pasti memiliki ideal trivial, yaitu {0} dan ideal tak sejati, yaitu R itu sendiri. Jika ada ideal lain selain {0} dan R, maka disebut sebagai ideal sejati. Ring yang tidak memiliki ideal sejati disebut sebagai ring sederhana / simple ring. C . Contoh 1. 2ℤ merup...

Konsep Dasar Metode Secant dan Pendekatan Gradien Metode Secant mengatasi salah satu kekurangan dari Metode Newton-Rafson, yaitu keharusan untuk menghitung turunan pertama (diferensial) dari fungsi f(x), yang terkadang sulit dilakukan. Dalam Metode Secant, turunan pertama f'(xᵢ) didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga (finite difference), menggunakan dua titik iterasi sebelumnya. Pendekatan turunan di titik xᵢ (atau xᵢ₋₁) adalah kemiringan (gradien) dari garis yang menghubungkan titik (xᵢ₋₁, f(xᵢ₋₁)) dan (xᵢ, f(xᵢ)), yang disebut garis secant. Perhatikan gambar berikut: Garis singgung di titik xᵢ didekati oleh bentuk berikut: Rumus Iterasi Metode Secant Metode Secant berasal dari penyamaan kemiringan garis yang melewati dua titik perkiraan awal dengan kemiringan garis yang melewati titik terakhir dan titik akar yang diasumsikan, mirip dengan proses pada Metode Newton-Rafson. Dengan mensubstitusikan pendekatan f'(xᵢ) ke dalam rumus Newton-Rafson diper...

KOALA (Kompetisi Aljabar Mahasiswa) adalah kompetisi tingkat perguruan tinggi yang ditujukan khusus bagi mahasiswa program sarjana di seluruh Indonesia untuk menguji dan mengasah kemampuan mereka dalam bidang Aljabar. Diselenggarakan oleh Komunitas Peminat Aljabar (KPA), KOALA 2025 bertujuan untuk menjaring bibit unggul di bidang matematika, khususnya Aljabar. Berikut ini timelinenya: Pembukaan Pendaftaran: 1 September 2025 Penutupan Pendaftaran: 27 September 2025 Technical Meeting: 29 September 2025 Seleksi Penyisihan: 1 Oktober 2025 Pengumuman Hasil Seleksi Penyisihan: 8 Oktober 2025 Seleksi Tingkat Nasional (Babak Final): 23 Oktober 2025 A. Cakupan Materi Materi yang diujikan mencakup aljabar vektor matriks dan aljabar linear, teori grup, dan teori ring, dengan deskripsi masing-masing materi sebagai berikut: 1 . Aljabar Vektor Matriks dan Aljabar Linear Operasi matriks dan sifat-sifatnya, determinan, ruang vektor real dan kompleks, ruang vektor atas lapangan, subruang, kekebaslinear...

1. Subring A . Definisi Misal S ≠ ∅ dan S ⊆ R dengan (R, +, ⋅) merupakan ring. Jika dengan operasi yang sama S juga membentuk ring, maka S disebut sebagai subring dari R. B . Catatan Umum Mengenai Subring Setiap ring R pasti memiliki subring trivial, yaitu {0} dan subring tak sejati, yaitu R itu sendiri. Jika ada subring lain selain {0} dan R, maka disebut sebagai subring sejati. C . Contoh Subring Sejati 1. (ℤ, +, ⋅) merupakan subring sejati dari (ℚ, +, ⋅) 2. (ℚ, +, ⋅) merupakan subring sejati dari (ℝ, +, ⋅) 3. Dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 4, himpunan 2ℤ₄ = {0, 2} merupakan subring sejati dari ℤ₄ = {0, 1, 2, 3}. 2. Teorema Pengecekan Subring Pernyataan berikut ini ekivalen: (i) S merupakan subring dari R (ii) S ⊆ R ∧ (∀a, b ∈ S). a – b ∈ S ∧ ab ∈ S Bukti: • Bukti (i) ⇒ (ii) S subring dari R, berarti S ⊆ R dan S merupakan ring, akibatnya (∀a, b ∈ S) berlaku: –b ∈ S ⇒ a + (–b) = a – b ∈ S ∧ ab ∈ S • Bukti (ii) ⇒ (i...

1. Muqodimah Optimisasi A . Pendahuluan Optimisasi: Cara Mencari Nilai Terbaik dalam Hidup (dan Matematika) Halo, Sixtyfourians! Pernahkah kalian berfikir, "Bagaimana cara mendapatkan hasil terbaik dari segala sesuatu?" Mungkin untung maksimum dari jualan, atau biaya minimum saat bikin acara? Nah, itulah inti dari Optimisasi! Ini adalah cabang matematika yang intinya mencari nilai optimum (terbaik), entah itu maksimum (tertinggi) atau minimum (terendah) dari suatu fungsi atau situasi. Dalam kehidupan sehari-hari, kita selalu berhadapan dengan masalah optimisasi, lho! B . Dua Tipe Utama Masalah Optimisasi 1. Optimisasi Fungsi Tanpa Kendala (Unconstrained Optimisation) Ini adalah tipe masalah yang paling sederhana. Kita hanya punya satu fungsi, f(x), dan kita ingin tahu di mana nilai x akan membuat f(x) mencapai puncaknya (maksimum) atau lembahnya (minimum), tanpa ada batasan apa pun pada nilai x. Contoh: Jika kalian punya fungsi sederhana, kita bisa menggunakan turunan pertama...

1. Field / Lapangan A . Definisi Sebuah himpunan tak kosong F yang dilengkapi dengan dua operasi biner, penjumlahan (+) dan perkalian (⋅), disebut field atau lapangan jika: • (F, +) membentuk grup Abel • (F\{0}, ⋅) membentuk grup Abel • Perkalian di F bersifat distributif terhadap penjumlahan Oleh karena itu jika diketahui (F, +, ⋅) merupakan ring, untuk mengecek bahwa F merupakan field, cukup dengan memeriksa: • F memiliki elemen satuan, dengan 1 ≠ 0 • Setiap elemen taknol di F memiliki invers perkalian • Operasi perkalian di F bersifat komutatif B . Contoh 1. Contoh paling trivial untuk field adalah {0, 1}, dimana sangat jelas bahwa ({0, 1}, +) dan ({1}, ⋅) keduanya membentuk grup Abel. 2. (ℂ, +, ⋅), (ℝ, +, ⋅), dan (ℚ, +, ⋅) ketiganya merupakan field, sedangkan (ℤ, +, ⋅) bukan field. 3. Misal M₂ adalah himpunan matriks berukuran 2 × 2, kita peroleh bahwa (M₂, +, ⋅) bukan field, karena operasi perkalian di M₂ tidak komutatif. 2. Division Ring / Ring Pembagian A . Definisi Sebuah himpu...