Sixty Four Science

1. Keluarga Eksponensial dengan 1 Parameter Suatu FDP dengan satu parameter termasuk ke dalam keluarga eksponensial jika FDP tersebut dapat diuraikan dalam bentuk: f(x) = A(θ).B(x).e C(θ).D(x) , pada bentuk ini C(θ) disebut link function. Jika X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan VR yang saling bebas dan berdistribusi identik dengan FDP termasuk ke dalam keluarga eksponensial dengan satu parameter maka FDP bersamanya adalah: pada bentuk ini, ∑D(x) merupakan statistik cukup untuk θ. Tambahan: Fungsi yang berkorespondensi satu-satu dengan statistik cukup juga termasuk statistik cukup. 2. Keluarga Eksponensial dengan Lebih dari 1 Parameter Suatu FDP dengan k parameter termasuk ke dalam keluarga eksponensial jika FDP tersebut dapat diuraikan dalam bentuk: untuk menentukan statistik cukup, tentukan fungsi-fungsi x yang dikalikan dengan θ yang bersangkutan pada fungsi distribusi bersamanya. Contoh Soal 1. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan  sampel random dari VR X yang berdistribusi Poi...

Misal suatu persamaan diferensial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 persamaan diferensial dalam bentuk ini dikatakan eksak jika berlaku langkah-langkah menyelesaikan Perdif eksak: 1. Integralkan M(x, y) terhadap x atau N(x, y) terhadap y misal dipilih mengintegralkan M(x, y) terhadap x. F(x, y) = ∫M(x, y) dx + h(y) 2. Turunkan parsial F(x, y) terhadap y, lalu samakan dengan N(x, y) 3. Integralkan h'(y) untuk memperoleh h(y) 4. Penyelesaiannya adalah F(x, y) = C Contoh Soal Cek Eksak 1. (y² – 2x)dx + (2x + 1)dy = 0 ∂M/∂y = 2y ≠ ∂N/∂x = 2, bukan Perdif eksak 2. (3x²y – 1)dx + (x³ + 6y – y²)dy = 0; y(0) = 3 ∂M/∂y = 3x² = ∂N/∂x, Perdif eksak 3. (2xy – 9x²)dx + (2y + x² + 1)dy = 0; y(0) = –3 ∂M/∂y = 2x = ∂N/∂x = 2x, Perdif eksak 4. (6x + y²)dx + (2xy – 3y²)dy = 0 ∂M/∂y = 2y = ∂N/∂x, Perdif eksak 5. [cos(2y) – 3x²y²]dx + [cos(2y) – 2x.sin(2y) – 2x³y]dy = 0 ∂M/∂y = –2sin(2y) – 6x²y = ∂N/∂x, Perdif eksak 6. [r + sin(θ) – cos(θ)]dr + [r.sin(θ) + r.cos(θ)]dθ = 0 M(r, θ) = r + sin(θ) – cos(θ); N(r,...

Persamaan diferensial Bernoulli dengan variabel terikat y dan variabel bebas x, dapat ditulis dalam bentuk: dy/dx + P(x)⋅y = Q(x)⋅yⁿ dengan memisalkan v = y¹⁻ⁿ akan diperoleh: bentuk persamaan akan berubah menjadi Perdif linier orde 1 dalam v dan x, sehingga dapat diselesaikan menggunakan Perdif linier orde 1. Contoh Soal 1. Diberikan persamaan diferensial bagi masing-masing ruas dengan (x³ + 1), persamaannya akan menjadi bentuk ini merupakan Perdif Bernoulli, selanjutnya bagi masing-masing ruas dengan y² Misal v = y¹⁻² = y⁻¹ → dv/dx = −y⁻²⋅(dy/dx) ↔ y⁻²⋅(dy/dx) = −dv/dx, persamaannya menjadi kalikan masing-masing ruas dengan −1 integralkan P(x) eksponensialkan, diperoleh faktor integral μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[ln(x³ + 1)⁻²] = (x³ + 1)⁻² diperoleh v.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C v(x³ + 1)⁻² = ∫−6x²(x³ + 1)⁻³ dx + C Misal u = x³ + 1 → du = 3x² dx ↔ −6x² dx = −2du vu⁻² = ∫−2u⁻³ du + C = u⁻² + C, kalikan masing-masing ruas dengan u² v = 1 + u²C, kembalikan u = x³ + 1, v = y⁻¹ y⁻¹ =...

Lomba dan Seminar Nasional Matematika (LSM) merupakan kegiatan tahunan yang diadakan rutin oleh HIMATIKA (Himpunan Mahasiswa Departemen Pendidikan Matematika) FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta. Sesuai dengan namanya, LSM adalah serangkaian kegiatan yang terdiri dari Lomba Matematika dan Seminar Nasional Matematika, Pendidikan Matematika, dan Statistika. Lomba matematika diselenggarakan untuk siswa SMP, SMA, dan Mahasiswa se-Indonesia. Seminar Nasional Matematika diselenggarakan untuk pelajar, mahasiswa, guru, dosen, dan seluruh praktisi matematika dan juga memberikan kesempatan kepada para praktisi untuk menyalurkan bakatnya sebagai pemakalah dalam acara seminar. Di tahun 2025, event LSM menginjak tahun ke 33 dan dilaksanakan pada bulan Februari 2025. Untuk itu, segenap Panitia Lomba dan Seminar Matematika XXXIII mengusung tema “Revolutionise Mathematical Education and Statistical Literacy to Foster Advanced RESOLVING “Reasoning, Problem-Solving, and Thinking Skills” dengan harapan d...

Persamaan diferensial linier orde satu dengan variabel terikat y dan variabel bebas x, dapat ditulis dalam bentuk: dy/dx + P(x)⋅y = Q(x) Bentuk lain [P(x)⋅y − Q(x)]dx + dy = 0 Perdif linier orde satu memiliki faktor integral μ(x) = exp[∫P(x) dx] Langkah-langkah untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Linier Orde satu adalah sebagai berikut: 1. Nyatakan perdif linier orde 1 dalam bentuk standar dy/dx + P(x)⋅y = Q(x) 2. Tentukan faktor integral μ(x) = exp[∫P(x) dx] 3. Bentuk persamaan y.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C Contoh Soal 1. (x)dy/dx + (x + 1)y = x³ bagi masing-masing ruas dengan x dy/dx + (1 + 1/x)y = x² P(x) = 1 + 1/x, Q(x) = x² μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[∫1 + 1/x dx] = exp(x + ln(x)) = x⋅exp(x); untuk x > 0 y.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C y = x² − 3x + 6 − 6/x + C/x 2. dy/dx + 3y/x = 6x² P(x) = 3/x, Q(x) = 6x² μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[∫3/x dx] = exp[3.ln(x)] = x³ y.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C y.x³ = ∫x³.6x² dx + C = ∫6x⁵ dx + C = x⁶ + C y = x³ + C/x³ 3. dy/dx + 3y = 3x²⋅exp(−3x) P(x) ...

Bentuk umum Perdif non homogen bentuk khusus: (ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0 terdapat 3 kondisi: • a/p = b/q = c/r • a/p = b/q ≠ c/r • a/p ≠ b/q 1. Perdif Non Homogen Bentuk Khusus dengan a/p = b/q = c/r Misal suatu Perdif (ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0 dengan a/p = b/q = c/r = λ Misal px + qy + r = u ↔ ax + by + c = λu, perdif menjadi λu dx + u dy = 0, bagi masing-masing ruas dengan u λ dx + dy = 0 ∫λ dx + ∫dy = 0 λx + y = C Jadi, hasil akhirnya adalah λx + y = C. 2. Perdif Non Homogen Bentuk Khusus dengan a/p = b/q  ≠  c/r Misal suatu Perdif (ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0 dengan a/p = b/q ≠ c/r Misal a/p = b/q = μ; px + qy = u → p dx + q dy = du ↔ dy = (du − p dx)/q perdif menjadi (μu + c)dx + (u + r)(du − p dx)/q = 0, kalikan q (μuq + cq − pu − pr)dx + (u + r)du = 0 dx = −(u + r)/(μuq + cq − pu − pr) du bentuk terakhir ini separabel. 3. Perdif Non Homogen Bentuk Khusus dengan a/p ≠ b/q Misal suatu Perdif...

1. Fungsi Homogen Misal f fungsi dua variabel x dan y, fungsi f dikatakan homogen berderajat n jika berlaku: f(kx, ky) = kⁿ.f(x, y); k ∈ ℝ contoh: f(x, y) = x² + 3xy + 2y², masukkan kx dan ky f(kx, ky) = (kx)² + 3(kx)(ky) + 3(ky)² = k²x² + 3k²xy + 2k²y² = k²(x² + 3xy + 2y²) fungsi ini merupakan fungsi homogen berderajat 2. 2. Persamaan Diferensial Homogen Persamaan diferensial berbentuk M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dikatakan homogen jika M(x, y) dan N(x, y) keduanya fungsi homogen berderajat sama. 3. Langkah Menyelesaikan Perdif Homogen Misal suatu Perdif berbentuk M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 homogen, berikut langkah penyelesaiannya: 1. Misalkan y = vx → dy = v dx + x dv, akan membentuk Perdif separabel dalam v dan x. 2. Selesaikan Perdif separabel yang terbentuk. 3. Kembalikan ke bentuk semula, yaitu v = y/x. Catatan: Perlu berhati-hati dengan Perdif yang mana M(x, y) dan N(x, y) keduanya fungsi homogen tetapi derajatnya berbeda, karena tidak bisa diselesaikan menggunakan meto...

Untuk Persamaan Diferensial Separabel orde satu yang berbentuk y′ = f(x), dimana f fungsi kontinu dari satu variabel bebas x, maka kita dapat mengintegralkan secara langsung kedua ruas untuk memperoleh penyelesainnya. Bentuk umum: dy/dx = f(x, y) Untuk mencari penyelesaian umum dari persamaan diferensial separabel, terlebih dahulu kita pisahkan variabel x dan y, sehingga kita peroleh fungsi f(x, y) = p(x).q(y) Contoh 1. (xy)dx + (1 + x²)dy = 0 (1 + x²)dy = (−xy)dx Misal u = 1 + x²; du = 2x dx; −½du = −x dx eksponenkan kedua ruas 2.  Bentuk ini juga merupakan Perdif separabel, coba faktorkan masing-masing pembilang dan penyebut. integralkan masing-masing ruas Misal u = 4 + y ↔ y = u − 4 → du = dy v = 1 − x² → dv = −2x dx ↔ −½dv = x dx kembalikan ke bentuk semula 4 + y − 4⋅ln|4 + y| + C₁ = −½⋅ln|1 − x²| + C₂ y − 4⋅ln|4 + y| + ½⋅ln|1 − x²| = C₃ 3. dy/dx = cot(x)⋅tan(y) cot(y) dy = cot(x) dx ∫cot(⁡y) dy = ∫cot(⁡x) dx ln|sin(y)| + C₁ = ln|sin(x)| + C₂ ln|sin(y)| = ln|sin(...