Sixty Four Science

1. Teorema Dasar Kalkulus Pertama Perhatikan gambar berikut: Misal f terintegralkan dan  x ∈ [a, b], luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(t), sumbu t, t = a, dan t = x adalah sebagai berikut: dengan g(x) merupakan fungsi luas daerah tersebut. Teorema: Misal f kontinu pada selang [a, b] dan misal x suatu titik pada selang (a, b) maka: Perhatikan gambar berikut: Misal F(x) merupakan fungsi luas tersebut, berlaku pendekatan F(x + h) - F(x) ≈ h.f(x) bagi masing-masing ruas dengan h, diperoleh pendekatan: Selanjutnya mari kita buktikan teorema ini: Perhatikan gambar berikut: Misal m nilai minimum F pada interval [x, x + h] dan M nilai maksimum F pada interval [x, x + h], berlaku pembandingan berikut: mh ≤ F(x + h) - F(x) ≤ Mh, bagi masing-masing ruas dengan h (anggap h positif): Semakin h mendekati nol, semakin sempit interval, semakin berdekatan nilai pembandingannya. Dengan teorema apit, berlaku: Untuk h negatif berlaku hal yang sama hanya saja tandanya berbalik. ...

1. Sifat Penjumlahan Perhatikan gambar berikut: Misal  R 1  luas daerah diantara kurva y = f(x) dan sumbu x dengan batas x = a dan x = b,  R 2  luas daerah diantara kurva y = f(x) dan sumbu x dengan batas x = b dan x = c, dan R gabungan dari kedua daerah. Dikarenakan kedua daerah berhimpit (yang artinya tidak beririsan), luas gabungannya sama dengan jumlah luas setiap daerah (ditulis  R 1  +  R 2  = R). Oleh karena itu, R luas daerah diantara kurva y = f(x) dan sumbu x dengan batas x = a dan x = c. Dalam notasi integral: Jika f terintegralkan pada selang yang memuat a, b, c (bagaimanapun urutan dari a, b, c), maka: 2. Sifat Pembandingan Perhatikan gambar berikut: Misal  R 1  luas daerah diantara kurva y = f(x) dan sumbu x dengan batas x = a dan x = b,  R 2  luas daerah diantara kurva y = g(x) dan sumbu x dengan batas x = a dan x = b, dengan f(x) ≤ g(x) untuk setiap x pada selang [a, b], berlaku  R 1  ≤  R 2 ...

A. Minor dan Kofaktor Jika A matriks bujursangkar, maka minor  M ij  dari entri  a ij  didefnisikan sebagai determinan dari submatriks A setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan, sedangkan kofaktor  C ij  dari entri  a ij  dinyatakan sebagai  C ij  =  (–1) i+j × M ij . Perlu diperhatikan bahwa kofaktor dan minor dari suatu entri  a ij  hanya berbeda pada tandanya. Untuk mendapatkan kofaktor pada suatu matriks, pertama tentukan minor kemudian gunakan tanda + dan  –.  Sebagai catatan bahwa, tanda + (positif) terjadi saat (i + j) genap, sedangkan tanda  – (negatif) terjadi saat (i + j) ganjil. B. Determinan dan Ekspansi Kofaktor Jika A matriks bujursangkar (Orde 2 atau lebih), maka determinan A adalah jumlah dari hasil kali setiap entri dengan kofaktor-kofaktornya dalam satu baris (kolom) dari matriks A. Jumlah dari hasil kali setiap entri dengan kofaktornya dalam satu baris (atau satu kolom) disebut eksp...

Selain rumus luas segitiga, ada juga rumus volume tetrahedron menggunakan rumus Cayley-Menger yang ditemukan oleh Arthur Cayley dan Karl Menger. Perhatikan gambar berikut: Misal diberikan suatu tetrahedron dengan rusuk-rusuknya U, V, W, u, v, w dengan rusuk-rusuk yang berhadapan (U, u), (V, v), (W, w), rusuk-rusuk alas disimbolkan dengan huruf besar, sedangkan rusuk-rusuk tegak disimbolkan dengan huruf kecil. Misalkan: u' =  v 2 + w 2 – U 2 v' =  u 2  + w 2  – V 2 w' =  u 2  + v 2  – W 2 Selanjutnya misalkan: u'' =  (u × u') 2 v'' =  (v × v') 2 w'' =  (w × w') 2 Π =  (u × v × w) 2 Π' = u'  × v'  × w' Volumenya adalah: Contoh soal dan pembahasan Diberikan balok ABCD.EFGH dengan AB = 4, BC = 5, AE = 3. P, M, N merupakan titik tengah AE, EF, EH. Tentukan jarak antara bidang PMN dan BDG! Pilih satu titik pada bidang PMN, proyeksikan pada bidang BDG. Pada kasus ini, proyeksinya tidak tepat pada garis istimewa, sehingga tidak ...

Misal diberikan segitiga dengan panjang sisinya a, b, c. Selain menggunakan rumus Heron, kita juga bisa menggunakan rumus Cayley-Menger yang ditemukan oleh Arthur Cayley dan Karl Menger. Berikut rumus luas segitiga berdasarkan sisi-sisinya menggunakan rumus Cayley-Menger: Untuk membuktikannya perhatikan gambar berikut: Diketahui segitiga ABC dengan BD garis tinggi dari sisi AC, berarti BD ⊥ AC. Perhatikan segitiga ADB dan CDB: BD 2  = BA 2  – AD 2  = BC 2  – CD 2 Misalkan BD = t, BA = c, BC = a, dan CD = k, secara otomatis AD = b – k t 2  = c 2  – (b – k) 2  = a 2  – k 2 c 2  – b 2  + 2bk – k 2  = a 2  – k 2 2bk = a 2  –  k 2  – c 2  + b 2  +  k 2 2bk = a 2  + b 2  – c 2 , sehingga diperoleh nilai k: Substitusikan nilai k ke segitiga CDB: Tambahan: Jika panjang sisi-sisi segitiga berupa akar, rumus Cayley-Menger ini lebih mudah digunakan, karena di setiap sukunya tanda akar hilang ka...

1. Dua lingkaran berpotongan tegak lurus Misal diberikan dua lingkaran: L 1 : x 2  + y 2  + A 1 x + B 1 y + C 1  = 0 L 2 : x 2  + y 2  + A 2 x + B 2 y + C 2  = 0 Dua lingkaran yang tegak lurus berlaku rumus Pythagoras: |MN| 2 = r 1 2 + r 2 2 (–½A 1 + ½A 2 ) 2 + (–½B 1 + ½B 2 ) 2 = ¼A 1 2 + ¼B 1 2 – C 1 + ¼A 2 2 + ¼B 2 2 – C 2 ¼A 1 2 + ¼A 2 2 – ½A 1 A 2 + ¼B 1 2 + ¼B 2 2 – ½B 1 B 2 = ¼A 1 2 + ¼B 1 2 – C 1 + ¼A 2 2 + ¼B 2 2 – C 2 – ½A 1 A 2 – ½B 1 B 2 = – C 1 – C 2 ½A 1 A 2 + ½B 1 B 2 – C 1 – C 2 = 0 Jadi, dua lingkaran yang berpotongan tegak lurus memenuhi ½A 1 A 2  + ½B 1 B 2  – C 1  – C 2  = 0 2. Dua lingkaran yang saling berpotongan dan salah satu membagi lingkaran yang lain sama besar Misal diberikan dua lingkaran: L 1 : x 2  + y 2  + A 1 x + B 1 y + C 1  = 0 L 2 : x 2  + y 2  + A 2 x + B 2 y + C 2  = 0 Dua lingkaran dengan L 1  membagi L 2  sama besar berlaku rumus ...

A. Pusat dan Jari-jari Misal diberikan dua lingkaran: L 1 : x 2  + y 2  + A 1 x + B 1 y + C 1  = 0 L 2 : x 2  + y 2  + A 2 x + B 2 y + C 2  = 0 L 1  berpusat di M( –½A 1 , –½B 1 ), L 2  berpusat di N( –½A 2 , –½B 2 ), panjang jari-jari masing-masing lingkaran adalah: Untuk menentukan jarak antar kedua pusat, dapat menggunakan jarak antara dua titik: B. Hubungan Posisi Untuk sebarang dua lingkaran terdapat beberapa kemungkinan: 1. Saling lepas (Free Externally Circles) Jarak antara kedua pusatnya lebih dari jumlah jari-jari keduanya (ditulis "|MN| >  r 1 + r 2 "). 2. Bersinggungan di Luar (Touching Externally Circles) Jarak antara kedua pusatnya sama dengan jumlah jari-jari keduanya (ditulis "|MN| =  r 1  + r 2 "). 3. Beririsan (Intersecting Circles) Jarak antara kedua pusatnya kurang dari jumlah jari-jari keduanya dan lebih dari selisihnya, ditulis: "| r 1  - r 2 | < |MN| <  r 1  + r 2 " Keduanya berpotongan...