Sixty Four Science

Di dalam matematika, terdapat 8 jenis pernyataan, yaitu: Pengertian Pangkal, Definisi, Aksioma, Postulat, Teorema, Lemma, Korolari, dan Konjektur. Berikut penjelasannya: A. Pengertian Pangkal Pengertian pangkal adalah unsur atau elemen dalam matematika yang harus diterima sebagai fakta tanpa perlu didefinisikan.  Contoh: Pengertian bilangan “lima” Pengertian titik, garis, bidang B. Definisi Definisi adalah ungkapan yang dibutuhkan untuk membatasi suatu konsep dalam matematika. Contoh:  “Trapesium adalah segiempat yang mempunyai tepat sepasang sisi sejajar” Jenis-jenis definisi 1. Definisi Analitik:  definisi yang menyebutkan genus proksimum m (keluarga terdekat) dan diferensia spesifika a (perbedaan yang spesifik) Contoh: “Persegi adalah persegipanjang (genus proksimum) yang memiliki panjang sisi sama” (diferensia spesifika) 2. Definisi Genetik: definisi yang menunjukkan bagaimana suatu konsep terbentuk Contoh: “segitiga adalah sebuah bangun datar yang terbentuk ketika ti...

Setiap masalah yang dibicarakan menghendaki adanya kuantitas yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan. Diharapkan kuantitas tersebut dapat diformulasikan dalam bentuk fungsi. Selanjutnya, masalah dapat direduksi menjadi pertanyaan: Kapan fungsi tersebut mencapai maksimum/minimum?. Untuk dapat menjawab pertayaan tersebut, ditempuh langkah-langkah sebagai berikut: (i) Identifikasi kuantitas yang akan dimaksimumkan/diminimumkan dan mulai dengan suatu simbol (ii) Tentukan variabel-variabel yang ada dalam permasalahan apabila perlu digunakan gambar untuk bantuan (iii) Tentukan hubungan antar variabel (iv) Nyatakan kuantitas yang akan dimaksimumkan/diminimumkan ke  dalam fungsi satu variabel dan tentukan domain fungsi tersebut (v) Terapkan teknik pencarian maksimum/minimum fungsi yang diperoleh pada (iv) Contoh permasalahan 1. Seorang petani akan memagari tiga kandang berdampingan dengan kawat seperti pada gambar. Masing-masing kandang memiliki luas 80  m 2 . Jika bagian isi kandan...

Untuk menggambar grafik suatu fungsi, kita menggunakan konsep turunan, juga konsep limit. Meskipun grafiknya tidak sepenuhnya sempurna, sekurang-kurangnya mendekati grafik yang sebenarnya. Berikut hal-hal yang perlu diperhatikan untuk menggambar grafik suatu fungsi: (i) Domain fungsi (juga tanda fungsi) (ii) Daerah dimana fungsi naik/turun (iii) Titik ekstrem dan jenisnya (iv) Daerah dimana fungsi cekung/cembung (v) Titik belok (vi) Asimtot (jika ada) (vii) Titik bantu (opsional, terkadang diperlukan) Poin (ii) dan (iii) menggunakan turunan pertama, poin (iv) dan (v) menggunakan turunan kedua, poin (vi) menggunakan limit tak hingga. Contoh soal dan pembahasan 1. Diberikan fungsi f(x) =  x 1/3 (x – 3), gambarlah grafiknya dengan konsep turunan! (i) Domain fungsi dan tanda fungsi D f = {x ∈ R}, domainnya adalah seluruh bilangan real karena tidak ada yang membatasi. Untuk tanda fungsi sebagai berikut: f(x) =  x 1/3 (x – 3) = 0 x = 0 atau x = 3 Fungsi f memotong sumbu x pada x =...

Titik belok adalah titik pergantian kecekungan fungsi baik itu dari cekung ke atas kepada cekung ke bawah maupun sebaliknya. Jika f berbelok pada suatu titik, maka turunan pertamanya mencapai nilai ekstrem relatif pada titik tersebut. Diberikan fungsi f kontinu pada [a, b] dan diferensiabel pada (a, b) serta c ∈ (a, b). Jika f mempunyai titik belok di (c, f(c)) maka f''(c) = 0 atau tidak ada. Konvers dari pernyataan ini belum tentu berlaku, artinya meskipun f''(c) = 0 atau tidak ada, akan tetapi titik (c, f(c)) belum tentu titik belok. Berikut cara untuk menguji titik belok: (i) Tentukan semua nilai x sehingga f''(x) = 0 atau tidak ada. Misal x = c. (ii) Selidiki kecekungan fungsi f di sebelah kiri/kanan x = c (iii) Apabila ada pergantian kecekungan di x = c maka (c, f(c)) merupakan titik belok. Jika tidak ada pergantian maka (c, f(c)) bukan titik belok. Contoh soal dan pembahasan Diberikan f(x) = x 4 – x 3  – 18x 2 – 5x + 7 tentukan kecekungan dan titik belok...

Perhatikan contoh grafik berikut: Ada 2 grafik, 1 di kanan dan 1 di kiri. Grafik yang di sebelah kiri terlihat membuka ke atas (disebut cekung ke atas atau cembung ke bawah), sedangkan di sebelah kanan terlihat membuka ke bawah (disebut cekung ke bawah atau cembung ke atas) Diketahui fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan diferensiabel pada interval terbuka (a, b) (i) Fungsi f dikatakan cekung ke bawah pada [a, b] jika grafik kurva f pada (a, b) berada dibawah sebarang garis singgungnya (ii) Fungsi f dikatakan cekung ke atas pada [a, b] jika grafik kurva f pada (a, b) berada diatas sebarang garis singgungnya Gambarannya sebagai berikut: Diketahui fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan diferensiabel pada interval terbuka (a, b), berikut penentuan kecekungan fungsi f: (i) Jika f''(x) < 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f cekung ke bawah pada [a, b] (ii) Jika f''(x) > 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f cekung ke atas pada [a, b] Bukti: (i) Ambil se...

Perhatikan grafik berikut: Apabila diperhatikan dari kiri ke kanan maka ada bagian fungsi yang naik, dan ada juga bagian yang turun. Fungsi f naik di sebelah kiri titik A (x 1 , f(x 1 ) ) yang merupakan titik maksimum lokal dan turun di sebelah kanannya. Begitu juga fungsi f turun di sebelah kiri titik B (x 2 , f(x 2 ) ) yang merupakan titik minimum lokal dan naik di sebelah kanannya. Dari sini kita mengetahui sifat dari titik stasioner dan pojok tajam, sebelah kiri suatu titik maksimum lokal adalah fungsi naik dan sebelah kanannya adalah fungsi turun. Sedangkan sebelah kiri suatu titik minimum lokal adalah fungsi turun dan sebelah kanannya fungsi naik.  Adapun pada grafik lompat, bisa jadi lompatan tidak merubah arah fungsi, contoh grafik berikut: Pada grafik ini terjadi lompatan dan arahnya tetap turun. Definisi fungsi naik dan fungsi turun (i) Fungsi f dikatakan naik (increasing) pada interval S jika untuk setiap  x 1 , x 2  ∈ S dengan  x 1  < x 2  be...

Ada berbagai macam bentuk tak tentu (indeterminate form),  ada yang berbentuk pembagian (0/0, ∞/∞ ), ada yang berbentuk perkalian (0. ∞ ), ada yang berbentuk pengurangan ( ∞ - ∞ ), ada yang berbentuk perpangkatan (0 0 , 1 ∞ , ∞ 0 ). Hasil bagi f(x)/g(x) disebut bentuk tak tentu tipe 0/0 di c jika: Dinamakan bentuk tak tentu karena nilai limit tak mungkin dapat ditentukan tanpa adanya usaha tambahan. Seorang matematikawan berkebangsaan Perancis bernama Guillaume Francois a L'Hospital menemukan suatu metode yang cukup sederhana untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu. Jika: (i) fungsi f dan g masing-masing mempunyai turunan pada interval terbuka I yang mencakup c, kecuali mungkin di c; (ii) g'(x) ≠ 0 untuk setiap x ≠ c; (iii) f(x)/g(x) merupakan bentuk tak tentu di c maka: Misalkan f dan g dapat diturunkan di c, dengan f(c) = g(c) = 0, dan g'(c) ≠ 0 maka: terkadang penurunan sekali belum cukup, sehingga perlu diturunkan lebih dari sekali agar bentuknya menjadi bukan...

1. Teorema Rolle Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan f(a) = f(b), maka terdapat c ∈ (a, b) sehingga f'(c) = 0. Kemungkinan dari f(a) = f(b): (i) Pada interval (a, b) f konstan, jelas bahwa turunannya 0 untuk semua x ∈ (a, b) (ii) Pada interval (a, b) f tidak konstan, berarti grafiknya naik dan turun, dan karena f kontinu pada [a, b] maka a dan b adalah ujung interval, dan tidak ada grafik lompat, dan karena mempunyai turunan pada (a, b) maka tidak ada pojok tajam. Hal ini mencegah grafik selalu naik atau selalu turun, yang artinya adanya kenaikan (dari f(a)) mengharuskan adanya penurunan begitu juga sebaliknya, adanya penurunan mengharuskan adanya kenaikan. Mengapa demikian? agar grafiknya kembali ke nilai awal (yaitu f(b) = f(a)). Oleh karena itu, sekurang-kurangnya akan ada 1 titik puncak, yang mana turunan pada titik puncak yang bukan pojok tajam adalah 0. 2. Teorema Nilai Rata-Rata Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan mempu...

Diberikan fungsi f terdefinisikan pada suatu interval I, (i) Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di u ∈ I jika f(u) ≥ f(x) untuk setiap x ∈ I. (∀x ∈ I)(∃u ∈ I) ∋ f(u) ≥ f(x) (ii) Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di v ∈ I jika f(v) ≤ f(x) untuk setiap x ∈ I. (∀x ∈ I)(∃v ∈ I) ∋ f(v) ≤ f(x) Titik (u, f(u)) disebut titik maksimum mutlak dan titik (v, f(v)) disebut titik minimum mutlak. Fungsi yang akan dicari nilai ekstrem nya (maksimum dan minimum) disebut fungsi objektif. Fungsi f terdefinisikan pada [a, b] dan untuk setiap x ∈ [a, b] berlaku f(v) ≤ f(x) ≤ f(u). Jadi, f mencapai maksimum mutlak di u dan mencapai minimum mutlak di v. Selain maksimum/minimum mutlak, ada maksimum/minimum relatif, lihat grafik fungsi f pada interval [a, b] yang digambarkan sebagai berikut: Jelas bahwa f(u) dan f(v) masing-masing bukanlah nilai terbesar dan terkecil f pada keseluruhan interval [a, b]. Akan tetapi pada interval (a, x 1 ), f(u)...